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  • 已知函数f（x）=px2+2q-3x是奇函数，且f（2）=-53．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求证：f（1x）=f（x）；（3）判断函数f（x）在（0，1）上的单调性（不必证明）．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=
      px2+2
      q-3x
      是奇函数，且f（2）=-
      5
      3
      ．
      （1）求函数f（x）的解析式；
      （2）求证：f（
      1
      x
      ）=f（x）；
      （3）判断函数f（x）在（0，1）上的单调性（不必证明）．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵f（x）=
      px2+2
      q-3x
      是奇函数，
      ∴f（-x）=-f（x）恒成立，
      即
      px2+2
      q+3x
      =-
      px2+2
      q-3x
      恒成立，
      ∴q+3x=3x-q恒成立，得q=0；
      又f（2）=-
      5
      3
      ，
      ∴
      4p+2
      -3×2
      =-
      5
      3
      ，
      解得p=2，
      ∴f（x）=
      2x2+2
      -3x
      ；
      （2）由（1）得f（
      1
      x
      ）=
      2(
      1
      x
      )2+2
      -3(
      1
      x
      )
      =
      2+2x2
      -3x
      =f（x）；
      （3）f（x）=
      2+2x2
      -3x
      =-
      2x
      3
      -
      2
      3x
      ，
      ∵f′(x)=-
      2
      3
      +
      2
      3x2
      =
      2
      3
      (
      1
      x2
      -1)，且0＜x＜1，
      ∴f′（x）＞0，
      ∴f（x）在（0，1）上单调递增．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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