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  • 已知函数f（x）=a+xa-x（常数a＞0），且f（1）+f（3）=-2．（1）求a的值；（2）试研究函数f（x）的单调性，并比较f（t）与22t+2t(-32＜t＜32且t≠0)的大小；（3）设g（x）=√(2-x)f(x)-m(x+2)-2，是否存在实数m使得y=g（x）有零点？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=
      a+x
      a-x
      （常数a＞0），且f（1）+f（3）=-2．
      （1）求a的值；
      （2）试研究函数f（x）的单调性，并比较f（t）与      2
      2t+2
      t
      (-
      3
      2
      ＜t＜
      3
      2
      且t≠0)的大小；
      （3）设g（x）=
      √(2-x)f(x)
      -m(x+2)-2，是否存在实数m使得y=g（x）有零点？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．

      试题解答

      见解析
      解：（1）由f（1）+f（3）=
      a+1
      a-1
      +
      a+3
      a-3
      =-2．
      有a（a-2）=0．
      又a＞0，所以a=2．
      （2）由（1）知函数f（x）=
      2+x
      2-x
      ，
      其定义域为（-∞，2）∪（2，+∞），
      设x      1、x2∈（-∞，2）且x1＜x2，
      f（x      1）-f（x2）=
      2+x1
      2-x1
      -
      2+x2
      2-x2
      =
      4(x1-x2)
      (2-x1)(2-x2)
      ＜0，
      即f（x      1）＜f（x2），故f（x）在区间（-∞，2）上是增函数，同理可得，f（x）在区间（2，+∞）上是增函数．
      令h（x）=
      2x+2
      x
      =
      2
      x
      +2，
      则函数h（x）在区间（-∞，0），（0，+∞）上是减函数，
      当t∈(-
      2
      3
      ，0)时，f（t）＞f(-
      2
      3
      )=
      1
      2
      ，
      h（t）＜h(-
      2
      3
      )=-1，2h（t）＜2-1=
      1
      2
      ，
      所以f（t）＞2
      2t+2
      t
      ．
      当t∈(0，
      3
      2
      )时，f（t）＜f(
      3
      2
      )=7，h（t）＞h(
      3
      2
      )=
      10
      3
      ，
      2      h（t）＞2
      10
      3
      ＞23=8，所以f（t）＜2
      2t+2
      t
      ．
      综上，当t∈(-
      2
      3
      ，0)时，f（t）＞2
      2t+2
      t
      ；
      当t∈(0，
      3
      2
      )时，f（t）＜2
      2t+2
      t
      ．
      （3）g（x）=
      √2+x
      -m(x+2)-2，x≠2．
      由题意可知，方程
      √2+x
      -m(x+2)-2=0在{x|x≥-2且x≠2}中有实数解，
      令
      √2+x
      =t，则t≥0且t≠2，
      问题转化为关于t的方程mt      2-t+2=0①，
      有非负且不等于2的实数根．
      若t=0，则①为2=0，显然不成立，
      故t≠0，方程①可变形为m=-2(
      1
      t
      )2+
      1
      t
      ，
      问题进一步转化为求关于t的函数（t≥0且t≠2）的值域，
      因为t≥0且t≠2，所以
      1
      t
      ＞0且
      1
      t
      ≠
      1
      2
      ，
      所以m=-2(
      1
      t
      )2+
      1
      t
      ∈（-∞，0）∪（0，
      1
      8
      ]，
      所以实数m的取值范围是（-∞，0）∪（0，
      1
      8
      ]．
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