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  • 已知a∈R，函数f（x）=√x2+1-ax，x∈[0，+∞）（1）若f（x）是单调函数，求a的取值范围．（2）若f（x）的值域为（0，1]，求a的值．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知a∈R，函数f（x）=
      √x2+1
      -ax，x∈[0，+∞）
      （1）若f（x）是单调函数，求a的取值范围．
      （2）若f（x）的值域为（0，1]，求a的值．

      试题解答

      见解析
      解：（1）f′（x）=
      x
      √x2+1
      -a．当x∈（0，+∞）时，0＜
      x
      √x2+1
      ＜1，（2分）
      f′（x）的取值范围是（-a，1-a）．
      f（x）为增函数当且仅当-a≥0，即a≤0； （4分）
      f（x）为减函数当且仅当1-a≤0，即a???1．
      所以，使得f（x）是单调函数的a的取值范围是（-∞，0]∪[1，+∞） （6分）
      （2）①若a≤0则由（1）f（x）单增，
      f（x）＞f（10）=1，当x∈（0，+∞）时，
      f（x）的值域不是（0，1]． （7分）
      ②若a≥1则由（1）f（x）单调递减，其中f（0）=1
      （i）若a＞1，则由f（x）=0，
      得x=
      1
      √a2-1
      ．当x∈（
      1
      √a2-1
      ，+∞）时，
      f（x）＜f（
      1
      √a2-1
      ）=0，f（x）的值域不是（0，1]（8分）
      （ii）若a=1，则limn→∞f（x）=limn→∞（
      √x2+1
      -x）=limn→∞
      1
      √x2+1
      +x
      =0
      f（x）的值域是（0，1]（10分）
      ③若0＜a＜1，则在x∈（0，+∞）内，
      由f′（x）＜0，得0＜x＜
      a
      √1-a2
      ．f（x）在（0，
      a
      √1-a2
      ）单调递减，
      由f′（x）＞0，得x＞
      a
      √1-a2
      ，f（x）在（
      a
      √1- a2
      ，+∞）单调递增．
      由f（x）=1，得x=
      2a
      1-a2

      =
      a
      √1-a2
      ×
      2
      √1-a2
      ＞
      a
      √1-a2
      ，
      所以，当x∈（
      2a
      1-a2
      ，+∞）时，f（x）＞f（
      2a
      1-a2
      ）=1
      此时，f（x）的值域不是（0，1]（12分）
      综上，使得f（x）的值域为（0，1]的a的值为1．（13分）
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