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  • （理）已知函数f（x）=x|x-a|-a，x∈R．（1）当a=1时，求满足f（x）=x的x值；（2）当a＞0时，写出函数f（x）的单调递增区间；（3）当a＞0时，解关于x的不等式f（x）＜0（结果用区间表示）．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      （理）已知函数f（x）=x|x-a|-a，x∈R．
      （1）当a=1时，求满足f（x）=x的x值；
      （2）当a＞0时，写出函数f（x）的单调递增区间；
      （3）当a＞0时，解关于x的不等式f（x）＜0（结果用区间表示）．

      试题解答

      见解析
      解：（1）当a=1时，f(x)=x|x-1|-1=
      {
      x2-x-1，x≥1
      -x2+x-1，x＜1
      ，…（1分）
      所以当x≥1时，由f（x）=x可得x      2-x-1=x，即x2-2x-1=0，
      所以解得x=1±
      √2
      ，
      因为x≥1，
      所以x=1+
      √2
      ．…（2分）
      当x＜1时，由f（x）=x可得-x      2+x-1=x，即x2=-1，无实数解．…（3分）
      所以满足f（x）=x的x值为1+
      √2
      ．…（4分）
      （2）由题意可得：f(x)=
      {
      x2-ax-a，x≥a
      -x2+ax-a，x＜a
      ，…（5分）
      因为a＞0，所以，当x≥a时，f(x)=(x-
      a
      2
      )2-(
      a2
      4
      +a)，的单调递增区间是[a，+∞）；
      当x＜a时，f(x)=-(x-
      a
      2
      )2+(
      a2
      4
      -a)，则根据二次函数的性质可得函数的单调递增区间是(-∞，
      a
      2
      ]．…（8分）
      （注：两个区间写出一个得（2分），写出两个得（3分），区间不分开闭）
      所以，f（x）的单调递增区间是(-∞，
      a
      2
      ]和[a，+∞）．…（9分）
      （3）由x|x-a|-a＜0，
      当x≥a时，则有x      2-ax-a＜0，
      因为f（a）=-a＜0，所以x∈[a ，
      a+
      √a2+4a
      2
      )．…（11分）
      当x＜a时，-x      2+ax-a＜0，即-(x-
      a
      2
      )2+(
      a2
      4
      -a)＜0，
      当
      a2
      4
      -a＜0，即0＜a＜4时，x∈（-∞，a）；…（13分）
      当
      a2
      4
      -a≥0，即a≥4时，x∈(-∞ ，
      a-
      √a2-4a
      2
      )∪(
      a+
      √a2-4a
      2
      ， a)．…（14分）
      综上可得，当0＜a＜4时，x∈(-∞ ，
      a+
      √a2+4a
      2
      )，
      当a≥4时，x∈(-∞ ，
      a-
      √a2-4a
      2
      )∪(
      a+
      √a2-4a
      2
      ，
      a+
      √a2+4a
      2
      )．…（16分）
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