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  • 已知函数f（x）=logax-3x+3，g（x）=f（x）+x3+2（1）若g（t）=3求g（-t）的值（2）若f（x）的定义域为[α，β），值域为（logaa（β-1），logaa（α-1）]①求证：a＞3②若函数f（x）为[α，β）上的减函数，求a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=loga
      x-3
      x+3
      ，g（x）=f（x）+x3+2
      （1）若g（t）=3求g（-t）的值
      （2）若f（x）的定义域为[α，β），值域为（log      aa（β-1），logaa（α-1）]
      ①求证：a＞3
      ②若函数f（x）为[α，β）上的减函数，求a的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）由题意得
      x-3
      x+3
      ＞0，得x＞3或x＜-3；（1分）
      ∵f（-x）=      loga
      -x-3
      -x+3
      =loga
      x+3
      x-3
      =-loga
      x-3
      x+3
      =f（-x）
      ∴f（x）为奇函数；（3分）
      ∵g（x）=f（x）+x      3+2，g（t）=3
      ∴g（t）+g（-t）=f（t）+t      3+2+f（-t）+（-t）3+2=4
      ∴g（t）+g（-t）=4．故g（-t）=1（5分）
      （2）由（1）知f（x）的定义域（-∞，-3）∪（3，+∞）
      ①∵a（α-1）＞0且a＞0，则α＞1，
      又∵已知f（x）的定义域为[α，β），
      ∴β＞α＞3．则α＞3．（8分）
      ②∵函数y=
      x-3
      x+3
      =1-
      6
      x+3
      在其定义域[α，β）上为增函数，
      又∵f（x）在[α，β）上为减函数，∴0＜a＜1；（9分）
      ∵f（x）的定义域为[α，β），值域为（log      aa（β-1），logaa（α-1）]
      ∴      log
      α-3
      α+3
      a
      =logaa（α-1）且log
      β-3
      β+3
      a
      =logaa（β-1），
      说明α，β 是方程
      x-3
      x+3
      =a(x-1)的两个相异实数根，且β＞α＞3，
      即方程ax      2+（2a-1）x+3-3a=0在区间（3，+∞）内有两相异实根．
      设h（x）=ax      2++（2a-1）x+3-3a，
      则有
      {
      △=(2a-1)2-4a(3-3a)＞0
      -
      2a-1
      2a
      ＞3
      h(3)＞0
      ，解
      {
      a＜
      2-
      √3
      4
      或a＞
      2+
      √3
      4
      a＜
      1
      8
      a＞0

      又∵0＜a＜1，
      综上解得：0＜a＜
      2-
      √3
      4
      ，
      ∴满足条件的a的取值范围是（0，
      2-
      √3
      4
      ）．（14分）
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