设函数f（x）=2x2+2xx2+1，函数g（x）=ax2+5x-2a．（1）求f（x）在[0，1]上的值域；（2）若对于任意x1∈[0，1]，总存在x0∈[0，1]，使得g（x0）=f（x1）成立，求a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

设函数f（x）=

2x²+2x

x²+1

，函数g（x）=ax²+5x-2a．
（1）求f（x）在[0，1]上的值域；
（2）若对于任意x₁∈[0，1]，总存在x₀∈[0，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，求a的取值范围．

试题解答

见解析

解：（1）y=

2x²+2x

x²+1

2(x²+1)+2x-2

x²+1

=2+

2(x-1)

x²+1

，
令x-1=t，则x=t+1，t∈[-1，0]，y=2+

t²+2t+2

，
当t=0时，y=2；当t∈[-1，0），y=2+

，
由对勾函数的单调性得y∈[0，2），故函数在[0，1]上的值域是[0，2]；
（2）f（x）的值域是[0，2]，要g（x₀）=f（x₁）成立，则[0，2]?{y|y=g（x），x∈[0，1]}
①当a=0时，x∈[0，1]，g（x）=5x∈[0，5]，符合题意；
②当a＞0时，函数g（x）的对称轴为x=-

＜0，故当x∈[0，1]时，函数为增函数，则g（x）的值域是[-2a，5-a]，由条件知[0，2]?[-2a，5-a]，∴

{	a＞0 -2a≤0 5-a≥2

?0＜a≤3；
③当a＜0时，函数g（x）的对称轴为x=-

＞0．
当0＜-

＜1，即a＜-

时，g（x）的值域是[-2a，

-8a²-25

]或[5-a，

-8a²-25

]，
由-2a＞0，5-a＞0知，此时不合题意；当-

≥1，即-

≤a＜0时，g（x）的值域是[-2a，5-a]，
由[0，2]?[-2a，5-a]知，由-2a＞0知，此时不合题意．
综合①②③得0≤a≤3．

标签

必修1 人教A版单选题高中数学

设函数f（x）=2x2+2xx2+1，函数g（x）=ax2+5x-2a．（1）求f（x）在[0，1]上的值域；（2）若对于任意x1∈[0，1]，总存在x0∈[0，1]，使得g（x0）=f（x1）成立，求a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

试题解答

集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;元素与集合关系的判断;子集与真子集相关试题