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  • 已知函数f（x）=|ax-2|+blnx（x＞0，实数a，b为常数）．（1）若a=1，f（x）在（0，+∞）上是单调增函数，求b的取值范围；（2）若a≥2，b=1，求方程f(x)=1x在（0，1]上解的个数．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=|ax-2|+blnx（x＞0，实数a，b为常数）．
      （1）若a=1，f（x）在（0，+∞）上是单调增函数，求b的取值范围；
      （2）若a≥2，b=1，求方程f(x)=
      1
      x
      在（0，1]上解的个数．

      试题解答

      见解析
      解：（1）f(x)=|x-2|+blnx=
      {
      -x+2+blnx，(0＜x＜2)
      x-2+blnx，(x≥2)

      ①当0＜x＜2时，f（x）=-x+2+blnx，f′（x）=-1+
      b
      x
      ．
      由条件，得-1+
      b
      x
      ≥0恒成立，即b≥x恒成立．
      ∴b≥2
      ②当x≥2时，f（x）=x-2+blnx，f'（x）=1+
      b
      x
      ．
      由条件，得1+
      b
      x
      ≥0恒成立，即b≥-x恒成立
      ∴b≥-2
      ∵f（x）的图象在（0，+∞）不间断，
      综合①，②得b的取值范围是b≥2???
      （2）令g(x)=|ax-2|+lnx-
      1
      x
      ，即g(x)=
      {
      -ax+2+lnx-
      1
      x
      ，(0＜x＜
      2
      a
      )
      ax-2+lnx-
      1
      x
      ，(x≥
      2
      a
      ).

      当0＜x＜
      2
      a
      时，g(x)=-ax+2+lnx-
      1
      x
      ，g′(x)=-a+
      1
      x
      +
      1
      x2
      ，
      ∵0＜x＜
      2
      a
      ，∴
      1
      x
      ＞
      a
      2
      ，则g′(x)＞-a+
      a
      2
      +
      a2
      4
      =
      a(a-2)
      4
      ≥0
      即g'（x）＞0，∴g（x）在(0，
      2
      a
      )上是单调增函数．
      当x≥
      2
      a
      时，g(x)=ax-2+lnx-
      1
      x
      ，g′(x)=a+
      1
      x
      +
      1
      x2
      ＞0
      ∴g（x）在(
      2
      a
      ，+∞)上是单调增函数．
      ∵g（x）的图象在（0，+∞）上不间断，
      ∴g（x）在（0，+∞）上是单调增函数．
      ∵g(
      2
      a
      )=ln
      2
      a
      -
      a
      2
      ，而a≥2，∴ln
      2
      a
      ≤0，则g(
      2
      a
      )＜0．g（1）=|a-2|-1=a-3
      ①当a≥3时，
      ∵g（1）≥0
      ，∴g（x）=0在（0，1]上有惟一解．
      即方程f(x)=
      1
      x
      解的个数为1个．
      ②当2≤a＜3时，
      ∵g（1）＜0，
      ∴g（x）=0在（0，1]上无解．
      即方程f(x)=
      1
      x
      解的个数为0个．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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