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  • 已知函数f（x）=x2-1，g（x）=a|x-1|．（Ⅰ）若|f（x）|=g（x）有两个不同的解，求a的值；（Ⅱ）若当x∈R时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）求h（x）=|f（x）|+g（x）在[-2，2]上的最大值．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=x2-1，g（x）=a|x-1|．
      （Ⅰ）若|f（x）|=g（x）有两个不同的解，求a的值；
      （Ⅱ）若当x∈R时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围；
      （Ⅲ）求h（x）=|f（x）|+g（x）在[-2，2]上的最大值．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）方程|f（x）|=g（x），
      即|x      2-1|=a|x-1|，???形得|x-1|（|x+1|-a）=0，
      显然，x=1已是该方程的根，
      从而欲原方程有两个不同的解，即要求方程|x+1|=a
      “有且仅有一个不等于1的解”或
      “有两解，一解为1，另一解不等于1”
      得a=0或a=2
      （Ⅱ）不等式f（x）≥g（x）对x∈R恒成立，
      即（x      2-1）≥a|x-1|（*）对x∈R恒成立，
      ①当x=1时，（*）显然成立，此时a∈R
      ②当x≠1时，（*）可变形为a≤
      x2-1
      |x-1|
      ，
      令φ(x)=
      x2-1
      |x-1|
      =
      {
      x+1，(x＞1)
      -(x+1)，(x＜1)
      ，
      因为当x＞1时，φ（x）＞2；而当x＜1时，φ（x）＞-2．
      所以g（x）＞-2，故此时a≤-2
      综合①②，得所求a的取值范围是a≤-2
      （Ⅲ）因为h（x）=|f（x）|+g（x）=|x      2-1|+a|x-1|
      =
      {
      x2+ax-a-1，(x≥1)
      -x2-ax+a+1，(-1≤x＜1)
      x2-ax+a-1，(x＜-1)
      ，
      1）当
      a
      2
      ＞1，即a＞2时，
      h（x）在[-2，1]上递减，在[1，2]上递增，
      且h（-2）=3a+3，h（2）=a+3，
      经比较，此时h（x）在[-2，2]上的最大值为3a+3
      2）当0≤
      a
      2
      ≤1，即0≤a≤2时，
      h（x）在[-2，-1]，[-
      a
      2
      ，1]上递减，
      在[-1，-
      a
      2
      ]上[1，2]上???增，
      且h（-2）=3a+3，h（2）=a+3，h(-
      a
      2
      )=
      a2
      4
      +a+1，
      经比较，知此时h（x）在[-2，2]上的最大值为3a+3
      3）当-1≤
      a
      2
      ＜0，即-2≤a＜0时，
      h（x）在[-2，-1]，[-
      a
      2
      ，1]上递减，
      在[-1，-
      a
      2
      ]，[1，2]上递增，
      且h（-2）=3a+3，h（2）=a+3，h(-
      a
      2
      )=
      a2
      4
      +a+1，
      经比较知此时h（x）在[-2，2]上的最大值为a+3
      4）当-
      3
      2
      ≤
      a
      2
      ＜-1，即-3≤a＜-2时，
      h（x）在[-2，
      a
      2
      ]，[1，-
      a
      2
      ]上递减，
      在[
      a
      2
      ，1]，[-
      a
      2
      ，2]上递增，且h（-2）=3a+3＜0，h（2）=a+3≥0，
      经比较知此时h（x）在[-2，2]上的最大值为a+3
      5）当
      a
      2
      ＜-
      3
      2
      ，即a＜-3时，
      h（x）在[-2，1]上递减，在[1，2]上递增，
      故此时h（x）在[-2，2]上的最大值为h（1）=0
      综上所述，当a≥0时，h（x）在[-2，2]上的最大值为3a+3；
      当-3≤a＜0时，h（x）在[-2，2]上的最大值为a+3；
      当a＜-3时，h（x）在[-2，2]上的最大值为0．
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