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  • 已知函数f(x)=2x+bx+c，其中b，c为常数且满足f（1）=4，f（2）=5．（1）求b，c值；（2）证明函数f（x）在区间（0，1）上是减函数，并判断f（x）在（1，+∞）上的单调性；（3）求函数y=f(x)，x∈[12，3]的值域．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f(x)=2x+
      b
      x
      +c，其中b，c为常数且满足f（1）=4，f（2）=5．
      （1）求b，c值；
      （2）证明函数f（x）在区间（0，1）上是减函数，并判断f（x）在（1，+∞）上的单调性；
      （3）求函数y=f(x)，x∈[
      1
      2
      ，3]的值域．

      试题解答

      见解析
      解：（1）由f（1）=4，f（2）=5，
      得
      {
      2+b+c=4
      4+
      b
      2
      +c=5
      ，即
      {
      b+c=2
      b
      2
      +c=1
      ，解得b=2，c=0；
      所以b=2，c=0．
      （2）由（1）知：f（x）=2x+
      2
      x
      ，设0＜x1＜x2＜1，
      则f（x      1）-f（x2）=（2x1+
      2
      x1
      ）-（2x2+
      2
      x2
      ）=
      2(x1-x2)(x1x2-1)
      x1x2
      ，①
      因为0＜x      1＜x2＜1，所以x1-x2＜0，x1x2-1＜0，x1x2＞0，
      所以f（x      1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
      所以f（x）在（0，1）上是减函数；
      当1＜x      1＜x2时，x1-x20，由①式得f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
      所以f（x）在（1，+∞）上是增函数．
      （3）由（2）知f(x)=2x+
      2
      x
      在[
      1
      2
      ，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增．
      ∴f（x）      min=f（1）=4．又f(
      1
      2
      )=5，f(3)=
      20
      3
      ，
      ∴f(x)      max=
      20
      3
      ．
      故所求值域为[4，
      20
      3
      ]．
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