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  • 已知函数f(x)=loga(ax-√x)(a＞0，a≠1)（1）求函数f（x）的定义域（2）若a=2，求f（x）在区间[1，4]上的最值；（3）讨论f（x）在定义域上的单调性．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f(x)=loga(ax-
      √x
      )(a＞0，a≠1)
      （1）求函数f（x）的定义域
      （2）若a=2，求f（x）在区间[1，4]上的最值；
      （3）讨论f（x）在定义域上的单调性．

      试题解答

      见解析
      解：（1）由ax-
      √x
      ＞0，得
      √x
      (a
      √x
      -1)＞0
      ∵a＞0，
      √x
      ＞0，∴a
      √x
      -1＞0，∴
      √x
      ＞
      1
      a
      ，∴x＞
      1
      a2

      ∴函数定义域为{x|x＞
      1
      a2
      ，a＞0，a≠1}；
      （2）若a=2，则f(x)=log      2(2x-
      √x
      )，x∈(
      1
      4
      ，+∞)
      令t=2x-
      √x
      ，求导数可得t′=2-
      1
      2
      √x
      ＞0，x∈[1，4]
      可得函数t=2x-
      √x
      在x∈[1，4]上单调递增，
      由复合函???的单调性可得f（x）在[1，4]上单调递增，
      ∴f（x）      min=f（1）=log2（2-1）=0，
      f(x)      max=f(4)=log2(8-
      √4
      )=log26；
      （3）设      x1，x2∈(
      1
      a2
      ，+∞)，且x1＜x2
      则(ax      1-
      √x1
      )-(ax2-
      √x2
      )=a(x1-x2)-(
      √x1
      -
      √x2
      )=(
      √x1
      -
      √x2
      )[a(
      √x1
      +
      √x2
      )-1]
      ∵      x2＞x1＞
      1
      a2
      ，∴
      √x2
      ＞
      √x1
      ＞
      1
      a
      ，∴a(
      √x1
      +
      √x2
      )＞a?
      2
      a
      =2，
      ∴(
      √x1
      -
      √x2
      )[a(
      √x1
      +
      √x2
      )]＜0，
      ∴ax      1-
      √x1
      ＜ax2-
      √x2

      若0＜a＜1，则log      a(ax1-
      √x1
      )＞loga(ax2-
      √x2
      )，可得f（x）为减函数，
      若a＞1，则log      a(ax1-
      √x1
      )＜loga(ax2-
      √x2
      )，可得f（x）为增函数．
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