试题  
高中数学
小学

数学 语文 英语

初中

数学 语文 英语 物理 化学 生物 地理 历史 思品

高中

数学 语文 英语 物理 化学 生物 地理 历史 政治

  • 对于定义在区间D上的函数f（x），若任给x0∈D，均有f（x0）∈D，则称函数f（x）在区间D上封闭．（1）试判断f（x）=2x-1在区间[0，1]上是否封闭，并说明理由；（2）若函数g（x）=2x+mx+2在区间[2，9]上封闭，求实数m的取值范围；（3）若函数h（x）=x3-3x在区间[a，b]（a，b∈Z）上封闭，求a，b的值．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      对于定义在区间D上的函数f（x），若任给x0∈D，均有f（x0）∈D，则称函数f（x）在区间D上封闭．
      （1）试判断f（x）=2x-1在区间[0，1]上是否封闭，并说明理由；
      （2）若函数g（x）=
      2x+m
      x+2
      在区间[2，9]上封闭，求实数m的取值范围；
      （3）若函数h（x）=x      3-3x在区间[a，b]（a，b∈Z）上封闭，求a，b的值．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵f（x）=2x-1在区间[0，1]上单调递增，所以函数的值域为[-1，1]．
      而[-1，1]?[0，1]，所以f（x）在区间[0，1]上不是封闭的．
      （2）因为函数g（x）=
      2x+m
      x+2
      在区间[2，9]上封闭，
      ①当m=4时，函数g（x）的值域为{2}?[2，9]，适合题意．
      ②当m＞4时，函数g（x）在区间[2，9]上单调递减，g（x）的值域为[
      18+m
      11
      ，
      4+m
      4
      ]，
      由为[
      18+m
      11
      ，
      4+m
      4
      ]?[2，9]，得
      {
      18+m
      11
      ≥2
      4+m
      4
      ≤9
      ，解得4≤m≤32．
      ③当m＜4时，在区间[2，9]上有g（x）=
      2x+m
      x+2
      =2+
      m-4
      x+2
      ＜2，显然不合题意．
      综上所述，实数m的取值范围是[4，32]．
      （3）因为函数h（x）=x      3-3x，所以h′（x）=3（x+1）（x-1），
      所以h（x）在（-∞，-1）、（1，+∞）上递增，在（-1，1）上递减．
      ①当a＜b≤-1时，h（x）在区间[a，b]上递增，所以
      {
      h(a)≥a
      h(b)≤b
      ，
      即
      {
      -2≤a≤-1
      b≤-2
      ，显然a、b无解．
      ②当a≤-1且-1＜b≤1时，h      min（x）=h（-1）=2＞b，不合题意．
      ③当a≤-1且b＞1时，因为h（-1）=2，h（1）=-2都在函数的值域内，
      ∴a≤-2，b≥2．
      又
      {
      h(a)≥a
      h(b)≤b
      ，即
      {
      a3≥4a
      b4≤4b
      ，解得：
      {
      -2≤a≤2
      -2≤b≤2
      ，故有a=-2，b=2．
      ④当-1≤a＜b≤1时，h（x）在区间[a，b]上递减，则
      {
      h(b)≥a
      h(a)≤b
      ．
      ∵a、b∈z，经验证，均不合题意．
      ⑤当-1＜a≤1 且b＞1时，h      min（x）=h（1）=-2＜a，∴此情况不合题意．
      ⑥当b＞a≥1时，h（x）在区间[a，b]上递增，所以
      {
      h(a)≥a
      h(b)≤b
      ，
      此时无解．
      综上可得，所求的整数a、b的值为a=-2，b=2．
      标签
      必修1人教A版单选题高中数学

    集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集相关试题

    MBTS ©2010-2016 edu.why8.cn