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  • 已知函数y=f（x）的图象与函数y=ax（a＞0且a≠1）的图象关于直线y=x对称，记g（x）=f（x）[f（x）+2f（2）-1]．若y=g（x）在区间[12，2]上是增函数，则实数a的取值范围是 ．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数y=f（x）的图象与函数y=ax（a＞0且a≠1）的图象关于直线y=x对称，记g（x）=f（x）[f（x）+2f（2）-1]．若y=g（x）在区间[
      1
      2
      ，2]上是增函数，则实数a的取值范围是          ．

      试题解答

      （0，
      1
      2
      ]
      解：∵函数y=f（x）的图象与函数y=ax（a＞0且a≠1）的图象关于直线y=x对称，
      ∴f（x）=log      ax（x＞0）．
      g（x）=f（x）[f（x）+f（2）-1]=log      ax（logax+loga2-1）
      =（log      ax+
      loga2-1
      2
      ）2-
      (loga2-1)2
      4
      ，
      ①当a＞1时，y=log      ax在区间[
      1
      2
      ，2]上是增函数，∴logax∈[loga
      1
      2
      ，loga2]．
      由于y=g（x）在区间[
      1
      2
      ，2]上是增函数，∴
      1-loga2
      2
      ≤loga
      1
      2
      ，化为loga2≤-1，
      解得a≤
      1
      2
      ，舍去．
      ②当0＜a＜1时，y=log      ax在区间[
      1
      2
      ，2]上是减函数，∴logax∈[loga2，loga
      1
      2
      ]．
      由于y=g（x）在区间[
      1
      2
      ，2]上是增函数，∴
      1-loga2
      2
      ≥loga
      1
      2
      ，解得0＜a≤
      1
      2
      ．
      综上可得：0＜a≤
      1
      2
      ．
      故答案为：（0，
      1
      2
      ]．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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