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  • （理）已知函数f(x)=sinxcosx-sinαcosα，g(x)=cosxsinxsinβcosβ，α，β是参数，x∈R，α∈(-π2，π2)，β∈(-π2，π2)（1）若α=π4，β=π4，判别h（x）=f（x）+g（x）的奇偶性；若α=-π4，β=π4，判别h（x）=f2（x）+g2（x）的奇偶性；（2）若α=π3，t（x）=f（x）g（x）是偶???数，求β；（3）请你仿照问题（1）（2）提一个问题（3），使得所提问题或是（1）的推广或是问题（2）的推广，问题（1）或（2）是问题（3）的特例．（不必证明命题）将根据写出真命题所体现的思维层次和对问题探究的完整性，给予不同的评分．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      （理）已知函数f(x)=
      sinxcosx
      -sinαcosα
      ，g(x)=
      cosxsinx
      sinβcosβ
      ，α，β是参数，x∈R，α∈(-
      π
      2
      ，
      π
      2
      )，β∈(-
      π
      2
      ，
      π
      2
      )
      （1）若α=
      π
      4
      ，β=
      π
      4
      ，判别h（x）=f（x）+g（x）的奇偶性；
      若α=-
      π
      4
      ，β=
      π
      4
      ，判别h（x）=f2（x）+g2（x）的奇偶性；
      （2）若α=
      π
      3
      ，t（x）=f（x）g（x）是偶???数，求β；
      （3）请你仿照问题（1）（2）提一个问题（3），使得所提问题或是（1）的推广或是问题（2）的推广，问题（1）或（2）是问题（3）的特例．（不必证明命题）
      将根据写出真命题所体现的思维层次和对问题探究的完整性，给予不同的评分．

      试题解答

      见解析
      （理）解：（1）f（x）=sinx-cosα+cosx-cosα，g（x）=cosx?cosα-sinx?sinα
      f（x）=sin（x+α），g（x）=cos（x+β）
      h(x)=sin(x+
      π
      4
      )+cos(x+
      π
      4
      )=
      √2
      sin(x+
      π
      2
      )=
      √2
      cosx
      所以h（x）是偶函数
      h(x)=sin      2(x-
      π
      4
      )+cos2(x+
      π
      4
      )=
      1-cos(2x-
      π
      2
      )
      2
      +
      1+cos(2x+
      π
      2
      )
      2

      =
      1-sin2x+1-sin2x
      2
      =1-sin2x
      所以h（x）是非奇非偶函数
      （2）方法一（积化和差）：t（x）=f（x）?g（x）为偶函数，
      t(x)=sin(x+
      π
      3
      )?cos(x+β)=
      1
      2
      [sin(2x+β+
      π
      3
      )+sin(
      π
      3
      -β)]
      t（x）=f（x）?g（x）为偶函数，所以sin(2x+β+
      π
      3
      )是偶函数，
      β+
      π
      3
      =kπ+
      π
      2
      ，β∈(-
      π
      2
      ，
      π
      2
      )，
      ∴β=
      π
      6

      方法二（定义法）：t（x）=f（x）?g（x）为偶函数
      所以t(x)=t(-x)，sin(x+
      π
      3
      )cos(x+β)=sin(-x+
      π
      3
      )cos(-x+β)
      展开整理sinx?cosx?(cosβ-
      √3
      sinβ)=0对一切x∈R恒成立
      tanβ=
      √3
      3
      ，β∈(-
      π
      2
      ，
      π
      2
      )，
      ∴β=
      π
      6

      方法三（特殊值法）：t（x）=f（x）?g（x）为偶函数
      所以t(x)=t(-x)，sin(x+
      π
      3
      )cos(x+β)=sin(-x+
      π
      3
      )cos(-x+β)
      ∴t(
      π
      3
      )=t(-
      π
      3
      )，
      所以sin(
      π
      3
      +
      π
      3
      )cos(
      π
      3
      +β)=sin(-
      π
      3
      +
      π
      3
      )cos(-
      π
      3
      +β)=0
      cos(
      π
      3
      +β)=0，β∈(-
      π
      2
      ，
      π
      2
      )，
      ∴β=
      π
      6

      （3）第一层次，写出任何一种的一个（加法或乘法）均可以，
      1、α+β=
      π
      2
      ，f（x）+g（x）是偶函数； 2、α+β=-
      π
      2
      ，f（x）+g（x）是奇函数；
      3、α-β=
      π
      2
      ，f（x）+g（x）是非奇非偶函数； 4、α-β=-
      π
      2
      ，f（x）+g（x）既奇又偶函数
      第二层次，写出任何一种的一个（加法或乘法）均可以，
      1、α+β=
      π
      2
      ，f3（x）+g3（x）是偶函数；（数字不分奇偶）
      2、α+β=-
      π
      2
      ，f5（x）+g5（x）是奇函数α+β=-
      π
      2
      ，f4（x）+g4（x）是偶函数（数字只能同奇数）
      3、α-β=
      π
      2
      ，f5（x）+g5（x）是非奇非偶函数（数字不分奇偶，但求相同）
      4、α-β=-
      π
      2
      ，f3（x）+g3（x）是既奇又偶函数 （数字只能奇数）
      α-β=-
      π
      2
      ，f2（x）+g2（x）是非奇非偶函数
      第三层次，写出逆命题任何一种的一个（加法或乘法）均可以，
      1、f      3（x）+g3（x）是偶函数（数字不分奇偶，但相同），则α+β=
      π
      2

      2、f      5（x）+g5（x）是奇函数（数字只能正奇数），则α+β=-
      π
      2

      f      2（x）+g2（x）是偶函数（数字只能正偶数），则α+β=-
      π
      2

      3、f      3（x）+g3（x）是偶函数 （数字只能正奇数），则α-β=-
      π
      2

      第四层次，写出充要条件中的任何一种均可以，（16分）
      1、α+β=
      π
      2
      的充要条件是f（x）+g（x）是偶函数
      2、f      5（x）+g5（x）是奇函数（数字只能正奇数）的充要条件是α+β=-
      π
      2

      f      2（x）+g2（x）是偶函数（数字只能正偶数）的充要条件是α+β=-
      π
      2

      3、f      3（x）+g3（x）是偶函数 （数字只能正奇数）的充要条件是α-β=-
      π
      2

      第五层，写出任何一种均可以（逆命题，充要条件等均可以，限于篇幅省略）
      1、α+β=
      π
      2
      ，n∈N*时，fn（x）+gn（x）都是偶函数
      2、α+β=-
      π
      2
      ，n∈N*时，n是正奇数，fn（x）+gn（x）是奇函数
      α+β=-
      π
      2
      ，n∈N*时，n是正偶数，fn（x）+gn（x）是偶函数
      3、α-β=-
      π
      2
      ，n∈N*时，n奇数，fn（x）+gn（x）是既奇又偶函数
      4、α-β=-
      π
      2
      ，n∈N*时，n偶数，fn（x）+gn（x）是非奇非偶函数
      标签
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