规定满足“f（-x）=-f（x）”的分段函数叫“对偶函数”，已知函???f（x）={g(x)(x＜0)x2+4x(x≥0)是对偶函数，则（1）g（x）= ．（2）若f[nΣi1i(i+1)-m10]＞0对于任意的n∈N°都成立，则m的取值范围是．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

规定满足“f（-x）=-f（x）”的分段函数叫“对偶函数”，已知函???f（x）=

{	g(x)(x＜0) x²+4x(x≥0)

是对偶函数，则
（1）g（x）= ．
（2）若f[nΣi

i(i+1)

]＞0对于任意的n∈N°都成立，则m的取值范围是．

-x²+4x:m＜5

解：（1）由题意设x＜0，则-x＞0，∴f（-x）=x²-4x，
∵f（-x）=-f（x），∴g（x）=-f（-x）=-x²+4x，
（2）由（1）得，f(x)=

{	-x²+4x (x＜0) x²+4x (x≥0)

，
∴当x＜0时，f（x）=-x²+4x=-（x-2）²+4＜0，
当x≥0时，f（x）=x²+4x=（x+2）²-4≥0，
∵f(nΣi

i(i+1)

)＞0对于任意的n∈N°恒成立，
∴条件转化为nΣi

i(i+1)

＞0对于任意的n∈N°恒成立，
即m＜10×nΣi

i(i+1)

=10（

1×2

2×3

+…+

n(n+1)

）对于任意的n∈N°成恒立，
令y=10（

1×2

2×3

+…+

n(n+1)

），即求y的最小值，
则y=10×[（1-

）+（

）+…+（

n+1

）]=10（1-

n+1

），
∵1-

n+1

≥1-

，∴y的最小值为5．
综上可得，m＜5．
故答案为：-x²+4x；m＜5．

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