已知：函数f(x)=ax+bx+c（a、b、c是常数）是奇函数，且满足f（1）=10，f（3）=6（1）求a、b、c的值及f（x）的解析式；（2）试判断函数f（x）在区间（0，3）上的单调性并证明．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知：函数f(x)=ax+

+c（a、b、c是常数）是奇函数，且满足f（1）=10，f（3）=6
（1）求a、b、c的值及f（x）的解析式；
（2）试判断函数f（x）在区间（0，3）上的单调性并证明．

见解析

解（1）∵f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x），即-ax-

+c=-ax-

-c，可得c=0，
又f（1）=a+b=10，f(3)=3a+

=6，
联立解得a=1，b=9，∴f(x)=x+

；
（2）由（1）知f(x)=x+

，f（x）在区间（0，3）上单调递减，证明如下：
任取0＜x₁＜x₂＜3，
则f(x₁)-f(x₂)=x₁+

x₁

-x₂-

x₂

=(x₁-x₂)+

9(x₂-x₁)

x₁x₂

=(x₁-x₂)

x₁x₂-9

x₁x₂

，
∵0＜x₁＜x₂＜3，∴0＜x₁x₂＜9，即x₁-x₂＜0，x₁x₂-9＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴函数f（x）在区间（0，3）上单调递减．

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