定义在[-1，1]上的奇函数f（x），已知当x∈[-1，0]时，f（x）=14x-a2x（a∈R）（Ⅰ）求f（x）在[0，1]上的最大值；（Ⅱ）若f（x）是[0，1]上的增函数，求实数a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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定义在[-1，1]上的奇函数f（x），已知当x∈[-1，0]时，f（x）=

4^x

2^x

（a∈R）
（Ⅰ）求f（x）在[0，1]上的最大值；
（Ⅱ）若f（x）是[0，1]上的增函数，求实数a的取值范围．

见解析

解：（Ⅰ）设x∈[0，1]，则-x∈[-1，0]
∵当x∈[-1，0]时，f（x）=

4^x

2^x

（a∈R）
∴f（-x）=

4^-x

2^-x

=4^x-a?2^x
∵f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x）
∴f（x）=-4^x+a?2^x（x∈[0，1]）
令t=2^x，t∈[1，2]，则g（t）=at-t²=-（t-

）²+

a²

当

≤1，即a≤2时，g（t）_max=g（1）=a-1；
当1＜

＜2，即2＜a＜4时，g（t）_max=g（

）=

a²

；
当a≥4时，g（t）_max=g（2）=2a-4
综上，当a≤2时，f（x）的最大值为a-1；当2＜a＜4时，f（x）的最大值为

a²

；当a≥4时，f（x ）的最大值为2a-4．
（Ⅱ）因为函数f（x）在0，1上是增函数，
所以f′（x）=2^xln2（a-2?2^x）≥0
∴a-2?2^x≥0恒成立
∴a≥2?2^x
∵x∈[0，1]，∴2^x∈[1，2]
∴a≥4．

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