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  • 已知函数f（x）=x3+2x，若f（cos2θ-2m）+f（2msinθ-2）＜0对θ∈R恒成立，求实数m的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=x3+2x，若f（cos2θ-2m）+f（2msinθ-2）＜0对θ∈R恒成立，求实数m的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：∵f（x）的定义域为R，
      ∴f（x）在R上是奇函数且是增函数；
      ∵f（cos      2θ-2m）＜-f（2msinθ-2）=f（2-2msinθ），
      ∴cos      2θ-2m＜2-2msinθ，即cos2θ-2＜2m（1-sinθ），
      （1）当sinθ=1时，∴-2＜0恒成立，∴m∈R；
      （2）当sinθ≠1即1-sinθ＞0时，有2m＞
      cos2θ-2
      1-sinθ
      =
      -sin2θ-1
      1-sinθ
      ，设g(θ)=
      -sin2θ-1
      1-sinθ
      =
      -(1-sinθ)2+2(1-sinθ)-2
      1-sinθ
      =-[(1-sinθ)+
      2
      1-sinθ
      ]+2，
      ∵1-sinθ＞0∴1-sinθ+
      2
      1-sinθ
      ≥2
      √2
      当sinθ=1-
      √2
      时取等号，
      ∴g(θ)≤-2
      √2
      +2，
      ∴2m＞2-2
      √2
      ，∴m＞1-
      √2
      ，
      综上有：m的取值范围是(1-
      √2
      ，+∞）．
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