已知函数h（x）=2x，且h（x）=f（x）+g（x），其中f（x）是偶函数，g（x）是奇函数．（1）求f（x）和g（x）的解析式；（2）证明：f（x）是（0，+∞）上的单调增函数；（3）设F（x）=4a?[g（x）+2-x-1]+4x+1，x∈[0，2]，讨论F（x）的最大值．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数h（x）=2^x，且h（x）=f（x）+g（x），其中f（x）是偶函数，g（x）是奇函数．
（1）求f（x）和g（x）的解析式；
（2）证明：f（x）是（0，+∞）上的单调增函数；
（3）设F（x）=4a?[g（x）+2^-x-1]+4^x+1，x∈[0，2]，讨论F（x）的最大值．

见解析

解：（1）∵f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，
∴h（-x）=f（-x）+g（-x）=f（x）-g（x）=2^-x…①，
又∵h（x）=f（x）+g（x）=2^x…②，
∴①②联解，可得f(x)=

2^x+2^-x

，g(x)=

2^x-2^-x

．
（2）设x₂、x₁是区间（0，+∞）上的任意两个值，且x₂＞x₁，
则f(x₂)-f(x₁)=

2^x₂+2^-x₂

2^x₁+2^-x₁

2^x₂-2^x₁+

2^x₂

2^x₁

(2^x₂-2^x₁)(2^x₂+x₁-1)

2?2^x₂+x₁

．
∵x₂＞x₁，且y=2^x为R上的单调增函数，∴2^x₂＞2^x₁．
又∵x₂＞x₁＞0，可得x₂+x₁＞0，∴2^x₂+x₁＞2⁰=1．
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁）．
因此，f（x）是（0，+∞）上的单调增函数．
（3）由题意，可得
F(x)=4a?[

2^x-2^-x

2^-x

]+4^x+1=4^x+2a?2^x+1．
设t=2^x，t∈[1，4]，可得F（x）=t²+2at+1=（t+a）²+1-a²．
设g（t）=（t+a）²+1-a²，
可得g（t）是关于t的二次函数，图象为开口向上的抛物线，并于直线t=-a对称
①当a＞-

时，t=-a＜

，可得t=4距离对称轴较远，
∴当t=4时函数有最大值，所以y_max=8a+17；
②当a≤-

时，t=-a≥

，可得t=1距离对称轴较远，
当t=1时函数有最大值，所以y_max=2a+2．
综上所述，当a＞-

时，F_max=F（2）=8a+17；当a≤-

时，F_max=F（0）=2a+2．

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