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  • 已知函数f（x）=x2+（a+1）x+lg|a+2|（a∈R，且a≠-2）（I）若f（x）能表示成一个奇函数g（x）和一个偶函数h（x）的和，求g（x）和h（x）的解析式；（II）命题P：函数f（x）在区间[（a+1）2，+∞）上是增函数；命题Q：函数g（x）是减函数．如果命题P、Q有且仅有一个是真命题，求a的取值范围；（III）在（II）的条件下，比较f（2）与3-lg2的大小．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=x2+（a+1）x+lg|a+2|（a∈R，且a≠-2）
      （I）若f（x）能表示成一个奇函数g（x）和一个偶函数h（x）的和，求g（x）和h（x）的解析式；
      （II）命题P：函数f（x）在区间[（a+1）      2，+∞）上是增函数；命题Q：函数g（x）是减函数．如果命题P、Q有且仅有一个是真命题，求a的取值范围；
      （III）在（II）的条件下，比较f（2）与3-lg2的大小．

      试题解答

      见解析
      解：（I）∵f（x）=g（x）+h（x），g（-x）=-g（x），h（-x）=h（x）
      ∴f（-x）=-g（x）+h（x）
      ∴
      {
      g(x)+h(x)=x2+(a+1)x+lg|a+2|
      -g(x)+h(x)=x2-(a+1)x+lg|a+2|

      解得g（x）=（a+1）x，h（x）=x      2+lg|a+2|；
      （II）∵函数f（x）=x      2+（a+1）x+lg|a+2|=(x+
      a+1
      2
      )2-
      (a+1)2
      4
      +lg|a+2|在区间[（a+1）2，+∞）上是增函数，
      ∴(a+1)      2≥-
      a+1
      2
      ，解得a≥-1或a≤-
      3
      2
      且a≠-2
      又由函数g（x）=（a+1）x是减函数，得a+1＜0，∴a＜-1且a≠-2
      ∴命题P为真的条件是：a≥-1或a≤-
      3
      2
      且a≠-2，命题Q为真的条件是：a＜-1且a≠-2．
      又∵命题P、Q有且仅有一个是真命题，
      ∴a＞-
      3
      2

      （III）由（I）得f（2）=2a+lg|a+2|+6
      ∵a＞-
      3
      2
      ，∴f（2）=2a+lg（a+2）+6
      设函数v（a）=2a+lg（a+2）+6，v′（a）=2+
      1
      (a+2)ln10
      ＞0．
      ∴函数v（a）在区间[-
      3
      2
      ，+∞)上为增函数．
      又∵v(-
      3
      2
      )=3-lg2，∴当a＞-
      3
      2
      时，v（a）＞v(-
      3
      2
      )，即f（2）＞3-lg2．
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