已知函数f1(x)=e|x-a|，f2(x)=ebx．（I）若f（x）=f1（x）+f2（x）-bf2（-x），是否存在a，b∈R，y=f（x）为偶函数．如果存在．请举例并证明你的结论，如果不存在，请说明理由；〔II）若a=2，b=1．求函数g（x）=f1（x）+f2（x）在R上的单调区间；（III ）对于给定的实数?x0∈[0，1]，对?x∈[0，1]，有|f1（x）-f2（x0）|＜1成立．求a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f₁(x)=e^|x-a|，f₂(x)=e^bx．
（I）若f（x）=f₁（x）+f₂（x）-bf₂（-x），是否存在a，b∈R，y=f（x）为偶函数．如果存在．请举例并证明你的结论，如果不存在，请说明理由；
〔II）若a=2，b=1．求函数g（x）=f₁（x）+f₂（x）在R上的单调区间；
（III ）对于给定的实数?x₀∈[0，1]，对?x∈[0，1]，有|f₁（x）-f₂（x₀）|＜1成立．求a的取值范围．

试题解答

见解析

解：（Ⅰ）存在a=0，b=-1使y=f（x）为偶函数，…（2分）
证明如下：此时：f（x）=e^|x|+e^-x+e^x，x∈R
∴f（-x）=e^|-x|+e^x+e^-x=f（x），
∴y=f（x）为偶函数．…（4分）
（注：a=0，b=0）也可以）
（Ⅱ）∵g（x）=e^|x-2|+e^x=

{	e^x-2+e^x &(x≥2) e^2-x+e^x &(x＜2)

，…（5分）
①当x≥2时g（x）=e^x-2+e^x，∴g′（x）=e^x-2+e^x＞0，
∴y=g（x）在[2，+∞）上为增函数．…（6分）
②当x＜2时g（x）=e^2-x+e^x，
则g′（x）=-e^2-x+e^x，令g′（x）=0得到x=1，
（ⅰ）当x＜1时g′（x）＜0，
∴y=g（x）在（-∞，1）上为减函数．
（ⅱ）当1≤x＜2时g′（x）＞0，
∴y=g（x）在（1，2）上为增函数．…（8分）
综上所述：y=g（x）的增区间为[1，+∞），减区间为（-∞，1）．…（9分）
（Ⅲ）∵|f₁（x）-f₂（x₀）|＜1，
∴f₂（x₀）-1＜f₁（x）＜f₂（x₀）+1
∴?x₀∈[0，1]对?x∈[0，1]，f₂（x₀）-1＜f₁（x）＜f₂（x₀）+1成立．
即：

{	f₂(x)_min-1＜f₁(x)_min f₂(x)_max+1＞f₁(x)_max

…（10分）
①当b≥0时，f₂（x）为增函数或常数函数，
∴当x∈[0，1]时，f₂(x)_min=f₂(0)=1，f₂(x)_max=f₂(1)=e^b
∵f₁(x)=e^|x-a|＞0，
∴f₂（x）_min-1=f₂（0）-1=0＜f₁（x）_min恒成立．
当a≤

时，f₁(x)_max=f₁(1)=e^1-a，
∴e^b+1＞e^1-a
∴a＞1-ln（e^b+1）
∵ln(e^b+1)≥ln2＞ln

√e

∴1-ln(e^b+1)＜

∴a∈(1-ln(e^b+1)，

]当a＞

时f₁(x)_max=f₁(0)=e^a
∴e^b+1＞e^a
∴a＜ln（e^b+1）
∵ln(e^b+1)≥ln2＞ln

√e

∴a∈(

，ln(e^b+1))
综上所述：a∈（1-ln（e^b+1），ln（e^b+1））…（12分）
②当b＜0时，f₂（x）在[0，1]上为减函数，
∴f₂(x)_max=f₂(0)=1，f₂(x)_min=f₂(1)=e^b
∵f₁(x)=e^|x-a|＞0，e^b-1＜e⁰-1=0
∴f₂（x）_min-1＜f₁（x）_min恒成立．当a≤

时f₁(x)_max=f₁(1)=e^1-a
∴f₂(x)_max+1=2＞e^1-a
∴a＞1-ln2
∴a∈(1-ln2，

]，
当a＞

时，f₁(x)_max=f₁(0)=e^a．
∴2＞e^a
∴a＜ln2
∴a∈(

，ln2)
综上所述：∴a∈（1-ln2，ln2）…（13分）
由①②得当b≥0时，a∈（1-ln（e^b+1），ln（e^b+1））；
当b＜0时，a∈（1-ln2，ln2）．…（14分）

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