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  • 函数f（x）=lg（√4x2+b+2x），其中b＞0（1）若f（x）是奇函数，求b的值；（2）在（1）的条件下，判别函数y=f（x）的图象是否存在两点A，B，使得直线AB平行于x轴，说明理由．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      函数f（x）=lg（
      √4x2+b
      +2x），其中b＞0
      （1）若f（x）是奇函数，求b的值；
      （2）在（1）的条件下，判别函数y=f（x）的图象是否存在两点A，B，使得直线AB平行于x轴，说明理由．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵b＞0，∴
      √4x2+b
      ＞|2x|≥-2x，可得
      √4x2+b
      +2x＞0恒成立，
      所以函数f（x）=lg（
      √4x2+b
      +2x）的定义域是R，关于原点对称 …（2分）
      ∵f（x）是奇函数，
      ∴f（x）=0，得lg
      √b
      =0，所以b=1
      此时 f（x）=lg（
      √4x2+1
      +2x），可得 f（-x）=lg（
      √4x2+1
      -2x ）
      ∴f（x）+f（-x）=lg[（
      √4x2+1
      +2x）（
      √4x2+1
      -2x ）]=lg1=0
      因此，f（-x）=-f（x），函数是奇函数，符合题意．
      所以，实数b的值为1…（5分）
      （2）假设存在A、B两点，使得AB平行x轴，则k      AB=0 …（6分）
      设A（x      1，y1），B（x2，y2），得kAB=
      y1-y2
      x1-x2
      =0，即y1=y2，
      ∴结合函数表达式，得lg（
      √4x12+1
      +2x1）=lg（
      √4x22+1
      +2x2） …（7分）
      可得
      √4x12+1
      -
      √4x22+1
      =2x2-2x1
      两边平方化简得到：（x      1-x2）2=0，得x1=x2，与题设x1≠x2矛盾 …（10分）
      ∴原假设不成立，即y=f（x）的图象上不存在两点，使得所连的直线与x轴平行 …（11分）
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