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  • 已知函数f(x)=ax+b1+x2是定义在（-1，1）上的奇函数，且f(12)=25．（1）求函数f（x）的解析式；（2）用单调性的定义证明f（x）在（-1，1）上是增函数；（3）解不等式f（t2-1）+f（t）＜0．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f(x)=
      ax+b
      1+x2
      是定义在（-1，1）上的奇函数，且f(
      1
      2
      )=
      2
      5
      ．
      （1）求函数f（x）的解析式；
      （2）用单调性的定义证明f（x）在（-1，1）上是增函数；
      （3）解不等式f（t      2-1）+f（t）＜0．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵函数f(x)=
      ax+b
      1+x2
      是定义在（-1，1）上的奇函数，
      ∴由f（0）=0，得b=0．
      又∵f(
      1
      2
      )=
      2
      5
      ，∴
      1
      2
      a
      1+
      1
      4
      =
      2
      5
      ，解之得a=1；
      因此函数f（x）的解析式为：f(x)=
      x
      1+x2
      ．
      （2）设-1＜x      1＜x2＜1，则 f(x1)-f(x2)=
      x1
      1+x
      2
      1
      -
      x2
      1+x
      2
      2
      =
      (x1-x2)(1-x1x2)
      (1+x
      2
      1
      )(1+x
      2
      2
      )

      ∵-1＜x      1＜x2＜1，
      ∴x      1-x2＜0，1-x1x2＞0，1+x12＞0，1+x22＞0，
      从而f（x      1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）
      所以f（x）在（-1，1）上是增函数．
      （3）∵f（x）是奇函数，
      ∴f（t      2-1）+f（t）＜0即为f（t2-1）＜-f（t）=f（-t），
      又∵f（x）在（-1，1）上是增函数，
      ∴f（t      2-1）＜f（-t）即为t2-1＜-t，解之得：-
      1+
      √5
      2
      ＜t＜
      -1+
      √5
      2
      …①
      又∵
      {
      -1＜t2-1＜1
      -1＜t＜1
      ，解之得-1＜t＜1且t≠0…②
      对照①②，可得t的范围是：(-1，0)∪(0，
      -1+
      √5
      2
      )．
      所以，原不等式的解集为(-1，0)∪(0，
      -1+
      √5
      2
      )．
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