已知函数f（x）=2x2x+1+a是奇函数．（1）求实数a的值；（2）判断函数在R上的单调性并用函数单调性的定义证明；（3）对任意的实数x，不等式f（x）＞2m-1恒成立，求实数m的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f（x）=

2^x

2^x+1

+a是奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）判断函数在R上的单调性并用函数单调性的定义证明；
（3）对任意的实数x，不等式f（x）＞2m-1恒成立，求实数m的取值范围．

试题解答

见解析

（1）由f（x）=

2^x

2^x+1

+a是奇函数，有f（-x）=-f（x），
∴

2^-x

2^-x+1

+a=-(

2^x

2^x+1

+a），
∴2a=-

2^x

2^x+1

=-1，
∴a=-

．
（2）f（x）在R上是增函数．
f（x）=

2^x

2^x+1

2^x+1-1

2^x+1

设x₁、x₂∈R且x₁＜x₂，
f（x₂）-f（x₁）=(

2^x₂+1

)-(

2^x₁+1

)
=

2^x₂-2^x₁

(2^x₂+1)(2^x₁+1)

，
∵x₁＜x₂，∴2^x₂＞2^x₁，
∴

2^x₂-2^x₁

(2^x₂+1)(2^x₁+1)

＞0，即f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在R上是增函数．
（3）对任意的实数x，不等式f（x）＞2m-1恒成立，
则只要2m-1＜f（x）_min，
∵2^x+1＞1∴0＜

2^x+1

＜1，
∴-1＜-

2^x+1

＜0，
-

＜

2^x+1

＜

，即-

＜f（x）＜

，
∴2m-1≤-

，
∴m≤

．即m的取值范围为：（-∞，

]．

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已知函数f（x）=2x2x+1+a是奇函数．（1）求实数a的值；（2）判断函数在R上的单调性并用函数单调性的定义证明；（3）对任意的实数x，不等式f（x）＞2m-1恒成立，求实数m的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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