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  • 已知奇函数f（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上有意义，且在（0，+∞）上是减函数，f（1）=0，又有函数g（θ）=sin2θ+mcosθ-2m，θ∈[0，π2]，若集合M={m|g（θ）＜0}，集合N={m|f[g（θ）]＞0}．（1）解不等式f（x）＞0；（2）求M∩N．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知奇函数f（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上有意义，且在（0，+∞）上是减函数，f（1）=0，又有函数g（θ）=sin2θ+mcosθ-2m，θ∈[0，
      π
      2
      ]，若集合M={m|g（θ）＜0}，集合N={m|f[g（θ）]＞0}．
      （1）解不等式f（x）＞0；
      （2）求M∩N．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵f（x）为奇函数且f（1）=0，∴f（-1）=-f（1）=0，
      又f（x）在（0，+∞）上是减函数，
      ∴f（x）在（-∞，0）上也是减函数，
      故f（x）＞0的解集为{x|x＜-1或0＜x＜1}，
      （2）由（1）知N={m|g（θ）＜-1或0＜g（θ）＜1}，
      ∴M∩N={m|g（θ）＜-1}，
      由g（θ）＜-1，得（2-cosθ）m＞2-cos      2θ，即m＞
      2-cos2θ
      2-cosθ
      =4-[(2-cosθ)+
      2
      2-cosθ
      ]，
      ∵θ∈[0，
      π
      2
      ]，∴2-cosθ∈[1，2]，
      ∴(2-cosθ)+
      2
      2-cosθ
      ≥2
      √2
      ，等号成立时cosθ=2-
      √2
      ．
      故4-[(2-cosθ)+
      2
      2-cosθ
      ]的最大值是4-2
      √2
      ．
      从而m＞4-2
      √2
      ，即M∩N={m|m＞4-2
      √2
      }．
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