地区：: 全部; 北京; 上海; 天津; 重庆; 安徽; 甘肃; 广东; 广西; 贵州; 海南; 河北; 河南; 湖北; 湖南; 吉林; 江苏; 江西; 宁夏; 青海; 山东; 山西; 陕西; 西藏; 新疆; 浙江; 福建; 辽宁; 四川; 黑龙江; 内蒙古

二次函数f（x）满足f（0）=f（1）=0，且最小值是-14．（1）求f（x）的解析式；（2）实数a≠0，函数g（x）=xf（x）+（a+1）x2-a2x，若g（x）在区间（-3，2）上单调递减，求实数a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

二次函数f（x）满足f（0）=f（1）=0，且最小值是-

．
（1）求f（x）的解析式；
（2）实数a≠0，函数g（x）=xf（x）+（a+1）x²-a²x，若g（x）在区间（-3，2）上单调递减，求实数a的取值范围．

见解析

解：（1）由二次函数f（x）满足f（0）=f（1）=0．设f（x）=ax（x-1）（a≠0），
则f(x)=ax²-ax=a( x-

)²-

．
又f（x）的最小值是-

，故

-a

．解得a=1．
∴f（x）=x²-x； …（4分）
（2）g（x）=xf（x）+（a+1）x²-a²x=x³-x²+ax²+x²-a²x=x³+ax²-a²x．
∴g'（x）=3x²+2ax-a²=（3x-a）（x+a）．　　　　　　…（6分）
由g'（x）=0，得x=

，或x=-a，又a≠0，故

≠-a．…（7分）
当

＞-a，即a＞0时，由g'（x）＜0，得-a＜x＜

． …（8分）
∴g（x）的减区间是( -a ，

)，又g（x）在区间（-3，2）上单调递减，
∴

{

-a≤-3

≥2

，解得

{

a≥3

a≥6

，故a≥6（满足a＞0）； …（10分）
当

＜-a，即a＜0时，由g'（x）＜0，得

＜x＜-a．
∴g（x）的减区间是(

， -a )，又g（x）在区间（-3，2）上单调递减，
∴

{

≤-3

-a≥2

，解得

{

a≤-9

a≤-2

，故a≤-9（满足a＜0）． …（13分）
综上所述得a≤-9，或a≥6．
∴实数a的取值范围为（-∞，-9]∪[6，+∞）． …（14分）

标签