• 定义:若函数f(x)对于其定义域内的某一数x0,有 f (x0)=x0,则称x0是f (x)的一个不动点.已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+b-1 (a≠0).(Ⅰ)当a=1,b=-2时,求函数f(x)的不动点;(Ⅱ)若对任意的实数b,函数f(x)恒有两个不动点,求a的取值范围;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若y=f(x)图象上两个点A、B的横坐标是函数f(x)的不动点,且A、B两点关于直线y=kx+a5a2-4a+1对称,求b的最小值.试题及答案-单选题-云返教育

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      定义:若函数f(x)对于其定义域内的某一数x0,有 f (x0)=x0,则称x0是f (x)的一个不动点.已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+b-1 (a≠0).
      (Ⅰ)当a=1,b=-2时,求函数f(x)的不动点;
      (Ⅱ)若对任意的实数b,函数f(x)恒有两个不动点,求a的取值范围;
      (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若y=f(x)图象上两个点A、B的横坐标是函数f(x)的不动点,且A、B两点关于直线y=kx+
      a
      5a2-4a+1
      对称,求b的最小值.

      试题解答


      见解析
      解:(Ⅰ)当a=1,b=-2时,有f (x)=x2-x-3,
      令x
      2-x-3=x,化简得:x2-2x-3=0,
      解得:x
      1=-1,或x2=3
      故所求的不动点为-1或3.(4分)

      (Ⅱ)令ax
      2+(b+1)x+b-1=x,则ax2+bx+b-1=0①
      由题意,方程①恒有两个不等实根,所以△=b
      2-4a(b-1)>0,
      即b
      2-4ab+4a>0恒成立,(6分)
      整理得b
      2-4ab+4a=(b-2a)2+4a-4a2>0,
      故4a-4a
      2>0,即0<a<1(8分)

      (Ⅲ)设A(x
      1,x1),B(x2,x2)(x1≠x2),则kAB=1,∴k=-1,
      所以y=-x+
      a
      5a2-4a+1
      ,(9分)
      又AB的中点在该直线上,所以
      x1+x2
      2
      =-
      x1+x2
      2
      +
      a
      5a2-4a+1

      ∴x
      1+x2=
      a
      5a2-4a+1

      而x
      1、x2应是方程①的两个根,所以x1+x2=-
      b
      a
      ,即-
      b
      a
      =
      a
      5a2-4a+1

      ∴b=-
      a2
      5a2-4a+1
      (12分)
      =-
      1
      (
      1
      a
      )2-4(
      1
      a
      )+5
      =
      1
      (
      1
      a
      -2)2+1

      ∴当a=
      1
      2
      ∈(0,1)时,bmin=-1.(14分)
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