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  • 已知函数f（x）=ax2+4x+b（a＜0），设关于x的方程f（x）=0的两实数根为x1，x2，f（x）=x的两实根为α，β，且|α-β|=1．（1）若a，b均为负整数，求f（x）解析式；（2）若α＜1＜β，求（x1+a）（x2+a）的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=ax2+4x+b（a＜0），设关于x的方程f（x）=0的两实数根为x1，x2，f（x）=x的两实根为α，β，且|α-β|=1．
      （1）若a，b均为负整数，求f（x）解析式；
      （2）若α＜1＜β，求（x      1+a）（x2+a）的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵f（x）=x，
      ∴ax      2+4x+b=x，由题意知，
      {
      α+β=-
      3
      a
      αβ=
      b
      a
      |α-β|=1

      ∴a      2+4ab-9=0；
      ∵a、b均为负整数，a      2+4ab-9=0，
      ∴a（a+4b）=9，解得a=-1，b=-2．
      ∴f（x）=-x      2+4x-2
      （2）令g（x）=ax      2+3x+b，
      由于关于x的方程f（x）=0的两实数根为x      1，x2，则
      {
      x1+x2=-
      4
      a
      x1x2=
      b
      a

      所以（x      1+a）（x2+a）=x1x2+a（x1+x2）+a2=
      b
      a
      +a2-4
      =
      9-a2
      4a2
      +a2-4=
      9
      4a2
      +a2-
      17
      4

      由α＜1＜β，且|α-β|=1得，0＜α＜1＜β＜2，
      所以
      {
      g(0)＜0 g(1)＞0
      g(2)＜0 a＜0 4ab=9-a2

      解得-3＜a＜-1，即1＜a      2＜9，
      由函数y（t）=
      9
      4t
      +t在（0，
      3
      2
      ）上单调递减，在(
      3
      2
      ，+∞)单调递增，
      而t=a      2∈（1，9），则y（t）∈[3，
      37
      4
      ），故所求取值范围为[-
      5
      4
      ，5）
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