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  • 已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，a，b，c为实数，且当|x|≤1时，恒有|f（x）|≤1；（I） 证明：|c|≤1；（II）证明：|a|≤2；（III）若g（x）=λax+b（λ＞1），求证：当|x|≤1时，|g（x）|≤2λ．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，a，b，c为实数，且当|x|≤1时，恒有|f（x）|≤1；
      （I） 证明：|c|≤1；
      （II）证明：|a|≤2；
      （III）若g（x）=λax+b（λ＞1），求证：当|x|≤1时，|g（x）|≤2λ．

      试题解答

      见解析
      解：（I）∵当|x|≤1时，
      恒有|f（x）|≤1；
      ∴|f（0）|≤1，
      ∴c≤1
      （II）∵f（0）=c，f（1）=a+b+c，f（-1）=a-b+c，
      ∴2a=f（1）+f（-1）-2f（0）
      又∵|x|≤1时，|f（x）|≤1，
      ∴|f（1）|≤1，|f（-1）|≤1，
      |f（0）|≤1，
      ∴|2a|=|f（1）+f（-1）-2f（0）|≤|f（1）|+|f（-1）|+2|f（0）|≤4，
      ∴|a|≤2．
      （III）∵f（0）=c，f（1）=a+b+c，f（-1）=a-b+c
      由
      {
      f(0)=c
      f(1)=a+b+c
      f(-1)=a-b+c
      得
      {
      a=
      1
      2
      [f(1)+f(-1)]-f(0)
      b=
      1
      2
      [f(1)-f(-1)]
      c=f(0)

      ∴g(1)=λa+b=λ?
      1
      2
      [f(1)+f(-1)]-λf(0)+
      1
      2
      [f(1)-f(-1)]=
      λ+1
      2
      f(1)+
      λ-1
      2
      f(-1)-λf(0)g(-1)=-λa+b=-λ?
      1
      2
      [f(1)+f(-1)]+λf(0)+
      1
      2
      [f(1)-f(-1)]
      =
      1-λ
      2
      f(1)-
      1+λ
      2
      f(-1)+λf(0)，
      ∵λ≥1，|f（1）|≤1，|f（-1）|≤1，|f（0）|≤1，
      ∴|g(1)|=|
      λ+1
      2
      f(1)+
      λ-1
      2
      f(-1)-λf(0)|≤
      λ+1
      2
      +
      λ-1
      2
      +λ=2λ，
      ∴|g(-1)|=|
      λ-1
      2
      f(1)-
      λ+1
      2
      f(-1)+λf(0)|≤
      λ-1
      2
      +
      λ+1
      2
      +λ=2λ．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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