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  • 已知f(x)=-x2+ax-a4+12，x∈[0，1]，求f（x）的最大值g（a），且求g（a）的最小值．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知f(x)=-x2+ax-
      a
      4
      +
      1
      2
      ，x∈[0，1]，求f（x）的最大值g（a），且求g（a）的最小值．

      试题解答

      见解析
      解：∵f（x）=-x2+ax-
      a
      4
      +
      1
      2
      =-（x-
      a
      2
      ）2+
      a2
      4
      -
      a
      4
      +
      1
      2
      ，
      对称轴是x=
      a
      2
      ，又∵x∈[0，1]，
      ∴（1）当
      a
      2
      ≤0，即a≤0时，f（x）在[0，1]上是减函数，∴f（x）max=f（0）=-
      a
      4
      +
      1
      2
      ；
      （2）当0＜
      a
      2
      ＜1，即0＜a＜2时，f（x）在[0，1]上从左向右先增后减，∴f（x）max=f（
      a
      2
      ）=
      a2
      4
      -
      a
      4
      +
      1
      2
      ；
      （3）当
      a
      2
      ≥1，即a≥2时，f（x）在[0，1]上是增函数，∴f（x）max=f（1）=
      3a
      4
      -
      1
      2
      ．
      ∴f（x）的最大值g（a）=
      {
      -
      a
      4
      +
      1
      2
      (a≤0)
      a2
      4
      -
      a
      4
      +
      1
      2
      (0＜a＜1)
      3a
      4
      -
      1
      2
      (a≥2)
      ；
      ∴①当a≤0时，-
      a
      4
      +
      1
      2
      ≥
      1
      2
      ；
      ②当0＜a＜2时，
      a2
      4
      -
      a
      4
      +
      1
      2
      =
      1
      4
      （a-
      1
      2
      ）2+
      7
      16
      ≥
      7
      16
      ；
      ③当a≥2时，
      3a
      4
      -
      1
      2
      ≥1．
      ∴g（a）的最小值是g（a）      min=
      7
      16
      ．
      标签
      必修1人教A版单选题高中数学

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