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  • 已知二次函数f（x）=ax2+bx+c满足条件f（-1），当x∈R时x≤f（x）≤(x+1)24恒成立．（1）求f（1）；（2）求f（x）的解析式；（3）若x1，x2∈（0，+∞），且1x1+ 1x2 =2，求证：f（x1）?f（x2）≥1．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知二次函数f（x）=ax2+bx+c满足条件f（-1），当x∈R时x≤f（x）≤
      (x+1)2
      4
      恒成立．
      （1）求f（1）；
      （2）求f（x）的解析式；
      （3）若x      1，x2∈（0，+∞），且
      1
      x1
      +
      1
      x2
      =2，求证：f（x1）?f（x2）≥1．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵x≤f（x）≤
      (x+1)2
      4

      ∴当x=1时．1≤f（1）≤
      (1+1)2
      4
      =1．
      ∴f（1）=1．
      （2）由（1）知a+b+c=1，又f（-1）=0，∴a-b+c=0
      从而
      {
      b=
      1
      2
      a+c=
      1
      2
      ，又x∈R时，f（x）≥x恒成立．
      即ax      2+（b-1）x+c≥0，故
      {
      a＞0
      △=(b-1)2-4ac≤0

      ∴ac≥
      1
      16

      ∴c＞0 而a+c=
      1
      2
      ≥ 2
      √ac

      ∴ac≤
      1
      16

      ∴ac=
      1
      16

      ∴a=c=
      1
      4
      ．∴f(x)=
      1
      4
      x2+
      1
      2
      x+
      1
      4
      ．
      （3）∵
      1
      x1
      +
      1
      x2
      =2，x1，x2∈（0，+∞），
      ∴x      1+x2=2x1x2
      ∴      x1+x2≥2
      √x1x2
      （当且仅当x1=x2=1时取等号）
      ∴2x      1x2≥2
      √x1x2

      ∴x      1x2≥1．
      又（x      1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=3x1x2+1≥4．
      ∴f（x      1）?f（x2）=
      (x1+1)2
      4
      ?
      (x2+1)2
      4
      ≥ 1 （当且仅当x1=x2=1时取等号）
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