试题  
高中数学
小学

数学 语文 英语

初中

数学 语文 英语 物理 化学 生物 地理 历史 思品

高中

数学 语文 英语 物理 化学 生物 地理 历史 政治

  • 出定义在（0，+∞）上的三个函数：f（x）=lnx，g（x）=x2-af（x），h(x)=x-a√x，已知g（x）在x=1处取极值．（Ⅰ）确定函数h（x）的单调性；（Ⅱ）求证：当1＜x＜e2时，恒有x＜2+f(x)2-f(x)成立；（Ⅲ）把函数h（x）的图象向上平移6个单位得到函数h1（x）的图象，试确定函数y=g（x）-h1（x）的零点个数，并说明理由．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      出定义在（0，+∞）上的三个函数：f（x）=lnx，g（x）=x2-af（x），h(x)=x-a
      √x
      ，已知g（x）在x=1处取极值．
      （Ⅰ）确定函数h（x）的单调性；
      （Ⅱ）求证：当1＜x＜e      2时，恒有x＜
      2+f(x)
      2-f(x)
      成立；
      （Ⅲ）把函数h（x）的图象向上平移6个单位得到函数h      1（x）的图象，试确定函数y=g（x）-h1（x）的零点个数，并说明理由．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）由题设，g（x）=x2-alnx，
      则g′(x)=2x-
      a
      x
      ．（1分）
      由已知，g'（1）=0，
      即2-a=0?a=2．（2分）
      于是h(x)=x-2
      √x
      ，
      则h′(x)=1-
      1
      √x
      ．（3分）
      由h′(x)=1-
      1
      √x
      ＞0?x＞1，
      所以h（x）在（1，+∞）上是增函数，在（0，1）上是减函数．（4分）
      证明：（Ⅱ）当1＜x＜e      2时，0???lnx＜2，
      即0＜f（x）＜2．（5分）
      欲证x＜
      2+f(x)
      2-f(x)
      ，
      只需证x[2-f（x）]＜2+f（x），
      即证f(x)＞
      2(x-1)
      x+1
      ．（6分）
      设φ(x)=f(x)-
      2(x-1)
      x+1
      =lnx-
      2(x-1)
      x+1
      ，
      则φ′(x)=
      1
      x
      -
      2(x+1)-2(x-1)
      (x+1)2
      =
      (x-1)2
      x(x+1)2
      ．
      当1＜x＜e      2时，φ'（x）＞0，
      所以φ（x）在区间（1，e      2）上为增函数．（7分）
      从而当1＜x＜e      2时，φ（x）＞φ（1）=0，
      即lnx＞
      2(x-1)
      x+1
      ，
      故x＜
      2+f(x)
      2-f(x)
      ．（8分）
      解：（Ⅲ）由题设，      h1(x)=x-2
      √x
      +6．
      令g（x）-h      1（x）=0，
      则      x2-2lnx-(x-2
      √x
      +6)=0，
      即2
      √x
      -2lnx=-x2+x+6．（9分）
      设      h2(x)=2
      √x
      -2lnx，
      h      3（x）=-x2+x+6（x＞0），
      则      h2′(x)=
      1
      √x
      -
      2
      x
      =
      √x
      -2
      x
      ，
      由
      √x
      -2＞0，得x＞4．
      所以h      2（x）在（4，+∞）上是增函数，
      在（0，4）上是减函数．（10分）
      又h      3（x）在（0，
      1
      2
      ）上是增函数，
      在（
      1
      2
      ，+∞）上是减函数．
      因为当x→0时，h      2（x）→+∞，h3（x）→6．
      又h      2（1）=2，h3（1）=6，h2（4）=4-2ln4＞0，h3（4）=-6，
      则函数h      2（x）与h3（x）的大致图象如下：（12分）

      由图可知，当x＞0时，两个函数图象有2个交点，
      故函数y=g（x）-h      1（x）有2个零点．（13分）
      标签
      必修1人教A版单选题高中数学

    集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集相关试题

    MBTS ©2010-2016 edu.why8.cn