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  • 已知函数f（x）满足2f（x+2）=f（x），当x∈(0，2)时，f(x)=lnx+ax(a＜-12)，当x∈（-4，-2）时，f（x）的最大值为-4．（1）求x∈（0，2）时函数f（x）的解析式；（2）是否存在实数b使得不等式x-bf(x)+x＞√x对于x∈（0，1）∪（1，2）时恒成立，若存在，求出实数b的取值集合，若不存在，说明理由．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）满足2f（x+2）=f（x），当x∈(0，2)时，f(x)=lnx+ax(a＜-
      1
      2
      )，当x∈（-4，-2）时，f（x）的最大值为-4．
      （1）求x∈（0，2）时函数f（x）的解析式；
      （2）是否存在实数b使得不等式
      x-b
      f(x)+x
      ＞
      √x
      对于x∈（0，1）∪（1，2）时恒成立，若存在，求出实数b的取值集合，若不存在，说明理由．

      试题解答

      见解析
      解：（1）由已知得：f（x）=2f（x+2）=4f（x+4），
      因为x∈(0，2)时，f(x)=lnx+ax(a＜-
      1
      2
      )，设x∈（-4，-2）时，则x+4∈（0，2），
      所以f（x+4）=ln（x+4）+a（x+4）
      ∴x∈（-4，-2）时，f（x）=4f（x+4）=4ln（x+4）+4a（x+4）
      ∴f′(x)=
      4
      x+4
      +4a=4a?
      x+4+
      1
      a
      x+4
      ，∵a＜-
      1
      2
      ，∴-4＜-
      1
      a
      -4＜-2，
      ∴当x∈(-4， -
      1
      a
      -4)时，f′(x)＞0，f(x)为增函数，
      当x∈(-
      1
      a
      -4，-2)时，f′(x)＜0，f(x)为减函数，
      ∴f(x)      max=f(-
      1
      a
      -4)=4ln(-
      1
      a
      )+4a(-
      1
      a
      )=-4，∴a=-1
      ∴当x∈（0，2）时，f（x）=lnx-x
      （2）由（1）可得：x∈（0，1）∪（1，2）时，不等式
      x-b
      f(x)+x
      ＞
      √x
      恒成立，
      即为
      x-b
      lnx
      ＞
      √x
      恒成立，
      ①当x∈（0，1）时，
      x-b
      lnx
      ＞
      √x
      ?b＞x-
      √x
      lnx，令g(x)=x-
      √x
      lnx，x∈(0，1)
      则g′(x)=1-
      lnx
      2
      √x
      -
      1
      √x
      =
      2
      √x
      -lnx-2
      2
      √x

      令h(x)=2
      √x
      -lnx-2，则当x∈（0，1）时，h′(x)=
      1
      √x
      -
      1
      x
      =
      √x
      -1
      x
      ＜0
      ∴h（x）＞h（1）=0，∴g′(x)=
      h(x)
      2
      √x
      ＞0，
      ∴g（x）＜g（1）=1，故此时只需b≥1即可；
      ②当x∈（1，2）时，
      x-b
      lnx
      ＞
      √x
      ?b＜x-
      √x
      lnx，令φ(x)=x-
      √x
      lnx，x∈(1，2)
      则φ′(x)=1-
      lnx
      2
      √x
      -
      1
      √x
      =
      2
      √x
      -lnx-2
      2
      √x

      令h(x)=2
      √x
      -lnx-2，则当x∈（1，2）时，h′(x)=
      1
      √x
      -
      1
      x
      =
      √x
      -1
      x
      ＞0
      ∴h（x）＞h（1）=0，∴φ′(x)=
      h(x)
      2
      √x
      ＞0，
      ∴φ（x）＜φ（1）=1，故此时只需b≤1即可，
      综上所述：b=1，因此满足题中b的取值集合为：{1}
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