已知a为实数，x=1是函数f(x)=12x2-6x+alnx的一个极值点．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（2m-1，m+1）上单调递减，求实数m的取值范围；（Ⅲ）设函数g(x)=x+1x，对于任意x≠0和x1，x2∈[1，5]，有不等式|λg（x）|-5ln5≥|f（x1）-f（x2）|恒成立，求实数λ的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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已知a为实数，x=1是函数f(x)=

x²-6x+alnx的一个极值点．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（2m-1，m+1）上单调递减，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）设函数g(x)=x+

，对于任意x≠0和x₁，x₂∈[1，5]，有不等式|λg（x）|-5ln5≥|f（x₁）-f（x₂）|恒成立，求实数λ的取值范围．

见解析

解：f′(x)=x-6+

（I）f′（1）=0?1-6+a=0?a=5
（Ⅱ）首先x＞0，由（I）得f′(x)=x-6+

x²-6x+5

(x-1)(x-5)

令f′（x）＜0，得：1＜x＜5即f（x）的单调递减区间是（1，5）
∵f（x）在区间（2m-1，m-1）上单调递减
∴（2m-1，m-1）?（1，5）?

{	2m-1＜m-1 2m-1≥1 m-1≤5

?1≤m＜2
（Ⅲ）由（I），f(x)=

x²-6x+5lnx，列表如下：

则f(x)_极大值=f(1)=-

，f(x)_极小值=f(5)=-

+5ln5
∴|f(x₁)-f(x₂)|≤-

-(-

+5ln5)=12-5ln5
∴|λg（x）|-5ln5≥|f（x₁）-f（x₂）|恒成立?∴|λg（x）|≥12恒成立
∵|g(x)|=|x+

|=|x|+|

|≥2当且仅当x=±1取等号
|λg（x）|_min=|2λ|≥12?|λ|≥6?λ≤-6或λ≥6

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