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  • 已知A、B、C是直线l上的三点，O是直线l外一点，向量OA、OB、OC满足OA=[f（x）+2f′（1）]OB-ln（x+1）OC．（Ⅰ）求函数y=f（x）的表达式；（Ⅱ）若x＞0，证明：f（x）＞2xx+2；（Ⅲ）若不等式12x2≤f（x2）+m2-2m-3对x∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知A、B、C是直线l上的三点，O是直线l外一点，向量
      OA
      、
      OB
      、
      OC
      满足
      OA
      =[f（x）+2f′（1）]
      OB
      -ln（x+1）
      OC
      ．
      （Ⅰ）求函数y=f（x）的表达式；
      （Ⅱ）若x＞0，证明：f（x）＞
      2x
      x+2
      ；
      （Ⅲ）若不等式
      1
      2
      x2≤f（x2）+m2-2m-3对x∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）∵
      OA
      =[f（x）+2f'（1）]
      OB
      -ln（x+1）
      OC
      ，且A、B、C在直线l上，
      ∴f（x）+2f'（1）-ln（x+1）=1，（2分）
      ∴y=f（x）=ln（x+1）+1-2f'（1），f'（x）=
      1
      x+1
      ，于是f'（1）=
      1
      2
      ，
      ∴f（x）=ln（x+1）（4分）

      （Ⅱ）令g（x）=f（x）-
      2x
      x+2
      ，由g'（x）=
      1
      x+1
      -
      2(x+2)-2x
      (x+2)2
      =
      x2
      (x+1)(x+2)2
      ，
      以及x＞0，知g'（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）上为增函数，又g（x）在x=0处右连续，
      ∴当x＞0时，得g（x）＞g（0）=0，∴f（x）＞
      2x
      x+2
      （8分）

      （Ⅲ）原不等式等价于
      1
      2
      x2-f(x2)≤m2-2m-3，
      令h（x）=
      1
      2
      x2-f(x2)=
      1
      2
      x2-ln(1+x2)，则h'（x）=x-
      2x
      1+x2
      =
      x3-x
      1+x2
      ，（10分）
      ∵x∈（-1，0）时，h'（x）＞0，x∈（0，1）时，h'（x）＜0，
      ∴h（x）在（-1，0）为增函数，在（0，1）上为减函数，（11分）
      ∴当x∈[-1，1]时，h（x）      max=h（0）=0，从而依题意有0≤m2-2m-3，
      解得m≥3或m≤-1，故m的取值范围是（-∞，-1]∪[3，+∞）（12分）
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