已知二次函数f（x）=ax2+x．对于?x∈（0，1]，|f（x）|≤1成立，求实数a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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已知二次函数f（x）=ax²+x．对于?x∈（0，1]，|f（x）|≤1成立，求实数a的取值范围．

见解析

解：由|f（x）|≤1得-1≤ax²+x≤1，x∈（0，1]，
（1）当a＞0时，函数f（x）=ax²+x的图象开口方向向上，对称轴为x=-

＜0，
且经过原点（0，0），只需f（1）=a+1≤1，即a≤0，矛盾!
（2）当a＜0时，函数f（x）=ax²+x的图象开口方向向下，对称轴为x=-

＞0，
且经过原点（0，0），f（1）=a+1＜1，
（i）当-

＜

，即a＜-1时，需满足f(x)_max=f(-

)=-

≤1
及f（x）_min=f（1）=a+1≥-1，即-2≤a≤-

；
（ii）当

≤-

≤1，即-1≤a≤-

时，需满足f(x)_max=f(-

)=-

≤1，
即a≤-

，
∴-1≤a≤-

；
（iii）当-

＞1，即-

＜a＜0，需满足f（x）_max=f（1）=a+1≤1，这显然成立；
（3）a=0的时候，不是二次函数不合题目要求．
综上，实数a的取值范围是[-2，0）．

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