设函数f（x）=3sinx+2cosx+1．若实数a、b、c使得af（x）+bf（x-c）=1对任意实数x恒成立，则bcosca的值等于．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

设函数f（x）=3sinx+2cosx+1．若实数a、b、c使得af（x）+bf（x-c）=1对任意实数x恒成立，则

bcosc

的值等于．

-1

解：令c=π，则对任意的x∈R，都有f（x）+f（x-c）=2，于是取a=b=

，c=π，
则对任意的x∈R，af（x）+bf（x-c）=1，由此得

bcosC

=-1．
一般地，由题设可得f（x）=

√13

sin（x+?）+1，f（x-c）=

√13

sin（x+?-c）+1，其中0＜?＜

且tan?=

，，
于是af（x）+bf（x-c）=1可化为

√13

asin（x+?）+

√13

bsin（x+?-c）+a+b=1，即

√13

asin（x+?）+

√13

bsin（x+?）cosC-

√13

bcos（x+?）sinC+a+b-1=0，
所以

√13

（a+bcosC）sin（x+?）-

√13

sinCcos（x+?）++a+b-1=0，
由已知条件，上式对任意x∈R恒成立，故必有

{	a+bcosC=0 bsinC=0 a+b-1=0

，
若b=0，则由（1）知a=0，显然不满足（3）式，故b≠0．所以，由（2）知sinc=0，故c=2kπ+π或c=2kπ（k∈Z）．当c=2kπ时，cosc=1，则（1）、（3）两式矛盾，故c=2kπ+π（k∈Z），cosc=-1．由（1）、（3）知a=b=

，所以

bcosC

=-1．

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