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  • 设函数f（x）的定义域为（0，+∞），且对任意的正实数x，y都有f（xy）=f（x）+f（y）恒成立．已知f（2）=1，且x＞1，f（x）＞0．（1）判断y=f（x）在（0，+∞）上的单调性，并说明理由．（2）一个各项为正数的数列{an}满足f（sn）=f（an）+f（an+1）-1（n∈N*），其中sn是数列{an}的前n项的和，求数列的通项an．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      设函数f（x）的定义域为（0，+∞），且对任意的正实数x，y都有f（xy）=f（x）+f（y）恒成立．已知f（2）=1，且x＞1，f（x）＞0．
      （1）判断y=f（x）在（0，+∞）上的单调性，并说明理由．
      （2）一个各项为正数的数列{a      n}满足f（sn）=f（an）+f（an+1）-1（n∈N*），其中sn是数列{an}的前n项的和，求数列的通项an．

      试题解答

      见解析
      解：（1）y=f（x）在（0，+∞）上为增函数
      设x      1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2则f（x2）=f(
      x2
      x1
      ?x1)=f(
      x2
      x1
      )+f(x1)
      ∵x＞1时f（x）＞0∴f（
      x2
      x1
      ）＞0?f（x2）-f（x1）=f（
      x2
      x1
      ）＞0，
      ∴y=f（x）在（0，+∞）上为增函数．（6分）
      （2）由f（s      n）+1=f（an）+f（an+1）
      ∴f（s      n）+f（2）=f（an）+f（an+1）
      ∴2s      n=an?an+1，当n≥2时，
      ∴2s      n-1=an-1?an，两式相减得：2an=an2+an-an-12-an-1
      ∴（an+an-1）（an-an-1-1）=0（n≥2）
      ∴a      n-an-1=1（n≥2）∴an=n（8分）
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