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  • 已知f（x）是定义在区间[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若m，n∈[-1，1]，m≠n时，有f(m)-f(n)m-n＞0（1）若满足f（x+12）+f（x-1）＜0，求x的取值范围（2）若f（x）≤t2-2at+1对任意的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数t的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知f（x）是定义在区间[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若m，n∈[-1，1]，m≠n时，有
      f(m)-f(n)
      m-n
      ＞0
      （1）若满足f（x+
      1
      2
      ）+f（x-1）＜0，求x的取值范围
      （2）若f（x）≤t      2-2at+1对任意的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数t的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵f（x）是定义在区间[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，
      m、n∈[-1，1]，m≠n时，有
      f(m)-f(n)
      m-n
      ＞0．
      ∴任取x      1，x2∈[-1，1]，且x2≥x1，
      则f（x      2）-f（x1）=
      f(x2)-f(x1)
      x2-x1
      ?(x2-x1)＞0，
      ∴f（x      2）＞f（x1），
      ∴函数f（x）在[-1，1]上单调递增．
      ∵f（x+
      1
      2
      ）+f（x-1）＜0，即f（x+
      1
      2
      ）＜f（1-x），
      ∴
      {
      -1≤x+
      1
      2
      ≤1
      -1≤x-1≤1
      x+
      1
      2
      ＜1-x
      ，解得0≤x≤
      1
      4
      ，
      ∴x的取值范围为[0，
      1
      4
      ）．
      （2）由于f（x）为增函数，∴f（x）的最大值为f（1）=1，
      ∴f（x）≤t      2-2at+1对a∈[-1，1]、x∈[-1，1]恒成立，
      ∴t      2-2at+1≥1对任意a∈[-1，1]恒成立，
      ∴t      2-2at≥0对任意a∈[-1，1]恒成立，
      把y=t      2-2at看作a的函数，
      由a∈[-1，1]，知其图象是一条线段，
      ∴t      2-2at≥0对任意a∈[-1，1]恒成立，
      ∴有
      {
      t2-2×(-1)×t≥0
      t2-2×1×t≥0
      ，即
      {
      t2+2t≥0
      t2-2t≥0
      ，
      解得t≤-2，或t=0，或t≥2．
      故实数t的取值范围是{t|t≤-2，或t=0，或t≥2}．
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