已知对?x，y＞0，有f（x，x）=x，f（x，y）=f（y，x），（x+y）f（x，y）=yf（x，x+y）（1）求f（1，4），f（2，8）的值；（2）求f（1，n），f（2，2n），其中n∈N；（3）求证：f（2，2n）＞f（1，n）对?n∈N恒成立．试题及答案-单选题-云返教育

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已知对?x，y＞0，有f（x，x）=x，f（x，y）=f（y，x），（x+y）f（x，y）=yf（x，x+y）
（1）求f（1，4），f（2，8）的值；
（2）求f（1，n），f（2，2ⁿ），其中n∈N^*；
（3）求证：f（2，2ⁿ）＞f（1，n）对?n∈N^*恒成立．

见解析

解：由条件有：f(x，x+y)=

x+y

f(x，y)，
（1）∴f(1，4)=

f(1，3)=

f(1，2)=

f(1，1)=4；
∴f(2，8)=

f(2，6)=

f(2，2)=8．
（2）由（1）知：
f(1，n)=

n-1

n-2

×…×

f(1，1)=n，
f(2，2ⁿ)=

2ⁿ

2ⁿ-2

2ⁿ-4

×…×

f(2，2)=2ⁿ；
（3）由（2）知：即求证：2ⁿ＞n对?n∈N^*恒成立
证明如下：
（1）当n=1时，2¹＞1显然成立
（2）当n＞1时，设n=k时成立，即：2^k＞k，
那么当n=k+1时，2^k+1=2×2^k＞2k=k+k＞k+1成立．
由（1）和（2）命题对?n∈N^*恒成立．

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