定义在区间（-1，1）上的函数f（x）满足：①对任意x，y∈（-1，1），都有f(x)+f(y)=f(x+y1+xy)；②当x∈（-1，0）时，f（x）＞0．求证：（1）f（0）=0；（2）f（x）在（-1，1）上是减函数；（3）f(15)+f(111)+f(119)+…+f(1n2+3n+1)＞f(12)．试题及答案-单选题-云返教育

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定义在区间（-1，1）上的函数f（x）满足：
①对任意x，y∈（-1，1），都有f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)；
②当x∈（-1，0）时，f（x）＞0．求证：
（1）f（0）=0；
（2）f（x）在（-1，1）上是减函数；
（3）f(

)+f(

)+…+f(

n²+3n+1

)＞f(

)．

试题解答

见解析

解：（1）令x=y=0，
有2f（0）=f（0），
∴f（0）=0；
（2）令-1＜x₁＜x₂＜1，则
f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f(

x₁-x₂

1-x₁?x₂

)，
∵-1＜x₁＜x₂＜1，
∴x₁-x₂＜0，1-x₁?x₂＞0，
∴-1＜

x₁-x₂

1-x₁?x₂

＜0，
∴f(

x₁-x₂

1-x₁?x₂

)＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（-1，1）上是减函数；
（3）令y=-x，则f（x）+f（-x）=f（0）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）为奇函数；
∴-f（

）=f(-

)=f(

3-2

1+3×(-2)

) =f(3)+f(-2)=f(3)-f(2)，①
-f(

)=f(-

)= =f(

4-3

1+4×(-3)

) =f(4)+f(-3)=f(4)-f(3)，②
…
-f(

n²+3n+1

)=f(-

(n+2)-(n-1)

1+(n+2)?[-(n+1))]

)=f(n+2)+f[-(n+1)]=f(n+2)-f(n+1) ③
将上式①②…③n个式子累加有
-[f(

)+f(

)+…+f(

n²+3n+1

)]
=f(-

)+f(-

)+…+f(-

n²+3n+1

)
=f（n+2）-f（2）=f(

1-2(n+2)

)，
又f（x）在（-1，1）上是减函数；
∴f(

1-2(n+2)

)=f(-

2n+3)

)＜f(-

) =-f(

)＜f(-

) =-f(

)，
∴f(

)+f(

)+…+f(

n²+3n+1

)＞f(

)

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必修1 人教A版单选题高中数学

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