定义在R上的函数y=f（x），对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）?f（n），且当x＞0时，0＜f（x）＜1．（1）求f（0）的值；（2）求当x＜0时，f（x）的取值范围；（3）判断f（x）在R上的单调性，并证明你的结论．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

定义在R上的函数y=f（x），对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）?f（n），且当x＞0时，0＜f（x）＜1．
（1）求f（0）的值；
（2）求当x＜0时，f（x）的取值范围；
（3）判断f（x）在R上的单调性，并证明你的结论．

见解析

解：（1）令m=0，n＞0，则有f（n）=f（0+n）=f（0）?f（n）
又由已知，n＞0时，0＜f（n）＜1，
∴f （0）=1
（2）设x＜0，则-x＞0f（0）=f[x+（-x）]=f（x）?f（-x）=1
则 f(x)=

f(-x)

，
又∵-x＞0，
∴0＜f（-x）＜1，
∴f（x）∈（1，+∞）
（3）f（x）在R上的单调递减
证明：设x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂
又x₁=（x₁-x₂）+x₂，由已知f（x₁）=f[（x₁-x₂）+x₂]=f（x₁-x₂）?f（x₂）
∴

f(x₁)

f(x₂)

=f(x₁-x₂)…（16分），
∵x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，由（2）得f（x₁-x₂）＞1
∴

f(x₁)

f(x₂)

＞1，又由（1）、（2），f(x₁)、f(x₂)∈R⁺，
∴f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在R上的单调递减

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