已知函数f（x）=x|x-2|．（1）写出f（x）的单调区间；（2）解不等式f（x）＜3；（3）设a＞0，求f（x）在[0，a]上的最大值．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知函数f（x）=x|x-2|．
（1）写出f（x）的单调区间；
（2）解不等式f（x）＜3；
（3）设a＞0，求f（x）在[0，a]上的最大值．

试题解答

见解析

解：（1）函数f（x）=x|x-2|=

{	x(x-2)，x≥2 -x(x-2)，x＜2

．
∴f（x）的单调递增区间是（-∞，1]和[2，+∞）；单调递减区间是[1，2]
（2）f（x）＜3等价于

{	x≥2 x²-2x-3＜0

或

{	x＜2 x²-2x-3＞0

∴2≤x＜3或x＜2
∴不等式f（x）＜3的解集为{x|x＜3}
（3）①当0＜a＜1时，f（x）是[0，a]上的增函数，此时（x）在[0，a]上的最大值是f（a）=a（2-a）；
②当1≤a≤2时，f（x）在[0 1]上是增函数，在[1，a]上是减函数，此时f（x）在[0 a]上的最大值是f（1）=1
③当a＞2时，令f（a）-f（1）=a（a-2）-1=a2-2a-1＞0，解得a＞1+

√2

（ⅰ）当2＜a≤1+

√2

时，此时f（a）≤f（1），f（x）在[0，a]上的最大值是f（1）=1
（ⅱ）当a＞1+

√2

时，此时f（a）＞f（1），f（x）在[0，a]上的最大值是f（a）=a（a-2）
综上，当0＜a＜1时，f（x）在[0，a]上的最大值是a（2-a）．

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必修1 人教A版单选题高中数学

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