探究函数f(x)=x+4x，x∈(0，+∞)的最小值，并确定取得最小值时x的值．列表如下： x … 0.5 1 1.5 1.7 1.9 2 2.1 2.2 2.3 3 4 5 7 … y … 8.5 5 4.17 4.05 4.005 4 4.005 4.002 4.04 4.3 5 5.8 7.57 … 请观察表中y值随x值变化的特点，完成以下的问题．函数f(x)=x+4x(x＞0)在区间（0，2）上递减；函数f(x)=x+4x(x＞0)在区间上递增．当x= 时，y最小= ．证明：函数f(x)=x+4x(x＞0)在区间（0，2）递减．思考：（1）函数f(x)=x+4x(x＜0)时，有最值吗？是最大值还是最小值？此时x为何值？（直接回答结果，不需证明）（2）函数f(x)=x+kx(x＞0，k＞0)时有最值吗？是最大值还是最小值？此时x为何值？（直接回答结果，不需证明）试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

探究函数f(x)=x+

，x∈(0，+∞)的最小值，并确定取得最小值时x的值．
列表如下：

x	…	0.5	1	1.5	1.7	1.9	2	2.1	2.2	2.3	3	4	5	7	…
y	…	8.5	5	4.17	4.05	4.005	4	4.005	4.002	4.04	4.3	5	5.8	7.57	…

请观察表中y值随x值变化的特点，完成以下的问题．
函数f(x)=x+

(x＞0)在区间（0，2）上递减；
函数f(x)=x+

(x＞0)在区间上递增．
当x= 时，y_最小= ．
证明：函数f(x)=x+

(x＞0)在区间（0，2）递减．
思考：
（1）函数f(x)=x+

(x＜0)时，有最值吗？是最大值还是最小值？此时x为何值？（直接回答结果，不需证明）
（2）函数f(x)=x+

(x＞0，k＞0)时有最值吗？是最大值还是最小值？此时x为何值？（直接回答结果，不需证明）

（2，+∞）:2:4

解：由表格可知函数f(x)=x+

(x＞0)在（2，+∞）上递增；当x=2时，y_最小=4
证明：设x₁，x₂是区间，（0，2）上的任意两个数，且x₁＜x₂．
f(x₁)-f(x₂)=x₁+

x₁

-(x₂+

x₂

)=x₁-x₂+

x₁

x₂

=(x₁-x₂)(1-

x₁x₂

(x₁-x₂)(x₁x₂-4)

x₁x₂

∵x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0
又∵x₁，x₂∈（0，2），∴0＜x₁x₂＜4，∴x₁x₂-4＜0，∴y₁-y₂＞0
∴函数在（0，2）上为减函数．
思考：（1）y=x+

，x∈(-∞，0)时，x=-2时，y_最大=-4

（2）函数f(x)=x+

(x＞0，k＞0)时有最小值，此时x=

√k

，y_最小=2

√k

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