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  • 如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA=2，OC=1，矩形对角线AC、OB相交于E，过点E的直线与边OA、BC分别相交于点G、H．（1）①直接写出点E的坐标： ．②求证：AG=CH．（2）如图2，以O为圆心，OC为半径的圆弧交OA与D，若直线GH与弧CD所在的圆相切于矩形内一点F，求直线GH的函数关系式．（3）在（2）的结论下，梯形ABHG的内部有一点P，当⊙P与HG、GA、AB都相切???，求⊙P的半径．试题及答案-填空题-云返教育

      • 试题详情

      如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA=2，OC=1，矩形对角线AC、OB相交于E，过点E的直线与边OA、BC分别相交于点G、H．
      （1）①直接写出点E的坐标：                ．
      ②求证：AG=CH．
      （2）如图2，以O为圆心，OC为半径的圆弧交OA与D，若直线GH与弧CD所在的圆相切于矩形内一点F，求直线GH的函数关系式．
      （3）在（2）的结论下，梯形ABHG的内部有一点P，当⊙P与HG、GA、AB都相切???，求⊙P的半径．

      试题解答

      （1，
      1
      2
      ）
      （1）①解：E的坐标是：（1，
      1
      2
      ），
      故答案为：（1，
      1
      2
      ）；

      ②证明：∵矩形OABC，
      ∴CE=AE，BC∥OA，
      ∴∠HCE=∠EAG，
      ∵在△CHE和△AGE中
      {
      ∠HCE=∠EAG
      CE=AE
      ∠HEC=∠GEA
      ，
      ∴△CHE≌△AGE，
      ∴AG=CH．

      （2）解：如图2，连接DE并延长DE交CB于M，连接AC，
      ∵DO=OC=1=
      1
      2
      OA，
      ∴D是OA的中点，
      ∵BC∥OA，
      ∴∠MCE=∠DAE，
      ∵在△CME和△ADE中
      {
      ∠MCE=∠DAE
      CE=AE
      ∠MEC=∠DEA
      ，
      ∴△CME≌△ADE，
      ∴CM=AD=2-1=1，
      ∵BC∥OA，∠COD=90°，
      ∴四边形CMDO是矩形，
      ∴MD⊥OD，MD⊥CB，
      ∴MD切⊙O于D，
      ∵HG切⊙O于F，E（1，
      1
      2
      ），
      ∴可设CH=HF=x，FE=ED=
      1
      2
      MD，
      在Rt△MHE中，有MH      2+ME2=HE2，
      即（1-x）      2+（
      1
      2
      ）2=（
      1
      2
      +x）2，
      解得x=
      1
      3
      ，
      ∴H（
      1
      3
      ，1），OG=2-
      1
      3
      =
      5
      3
      ，
      ∴G（
      5
      3
      ，0），
      设直线GH的解析式是：y=kx+b，
      把G、H的坐标代入得：
      5
      3
      k+b=0，且1=
      1
      3
      k+b，
      解得：k=-
      3
      4
      ，b=
      5
      4
      ，
      ∴直线GH的函数关系式为y=-
      3
      4
      x+
      5
      4
      ．

      （3）解：如备用图3，连接BG，过P做PN⊥GA，垂足为N，
      ∵在△OCH和△BAG中
      {
      CH=AG
      ∠HCO=∠GAB
      OC=AB
      ，
      ∴△OCH≌△BAG，
      ∴∠CHO=∠AGB，
      ∵∠HCO=90°，
      ∴HC切⊙O于C，HG切⊙O于F，
      ∴OH平分∠CHF，
      ∴∠CHO=∠FHO=∠BGA，
      ∵四边形OCBA是矩形，
      ∴BC∥OA，BC=OA，
      ∵CH=AG（已证），
      ∴BH=OG，BH∥OG，
      ∴四边形BHOG是平行四边形，
      ∴OH∥BG，
      ∴∠OHE=∠BGE，
      ∵∠CHO=∠FHO=∠BGA
      ∴∠BGA=∠BGE，
      即BG平分∠FGA，
      ∵⊙P与HG、GA、AB都相切，
      ∴和∠HGA的两边都相切的圆的圆心在∠HGA的角平分线上，即在GB上
      ∴圆心P必在BG上，
      ∴△GPN∽△GBA，
      ∴
      PN
      BA
      =
      GN
      GA
      ，
      设半径为r，
      r
      1
      =
      1
      3
      -r
      1
      3
      ，
      解得：r=
      1
      4
      ．
      答：⊙P的半径是
      1
      4
      ．
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