对于函数f（x）=a-22x+1（a∈R）（1）求函数f（x）的定义域和值域；（2）探索函数f（x）的单调性，并写出探索过程；（3）是否存在实数a使函数f（x）为奇函数？若存在求出a的值，不存在请说明理由．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

对于函数f（x）=a-

2^x+1

（a∈R）
（1）求函数f（x）的定义域和值域；
（2）探索函数f（x）的单调性，并写出探索过程；
（3）是否存在实数a使函数f（x）为奇函数？若存在求出a的值，不存在请说明理由．

见解析

解：（1）∵2^x＞0，
∴f（x）的定义域为R，
由2^x＞0，得2^x+1＞1，
∴0＜

2^x+1

＜2，-2＜-

2^x+1

＜0，
∴a-2＜a-

2^x+1

＜a，即a-2＜f（x）＜a，
∴f（x）的值域为（a-2，a）；
（2）∵y=2^x单调递增，
∴y=

2^x+1

单调递减，y=-

2^x+1

单调递增，
∴f（x）=a-

2^x+1

单调递增；
（3）若f（x）是奇函数，则f（-x）=-f（x），
∴a-

2^-x+1

=-(a-

2^x+1

)，即2a=

2^x+1

2^-x+1

2^x+1

2?2^x

1+2^x

=2，
∴a=1，
当a=1时f（x）=1-

2^x+1

，经验证f（-x）=-f（x）成立．
故存在实数a=1使f（x）为奇函数．

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