已知函数f（x）=xm-2x且f（4）=72．（1）求m的值；（2）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并给予证明；（3）求函数f（x）在区间[2，5]上的最大值与最小值．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知函数f（x）=x^m-

且f（4）=

．
（1）求m的值；
（2）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并给予证明；
（3）求函数f（x）在区间[2，5]上的最大值与最小值．

见解析

解：（1）∵函数f（x）=x^m-

，且f（4）=

；∴4^m-

，∴m=1，即m的值是1；
（2）f（x）在（0，+∞）上的是增函数，证明如下：
【方法一】任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=（x₁-

x₁

）-（x₂-

x₂

）=（x₁-x₂）（1+

x₁x₂

）；
∵0＜x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，1+

x₁x₂

＞0；∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），∴f（x）在（0，+∞）上是增函数；
【方法二】∵f（x）=x-

，∴f′（x）=1+

x²

＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增．
（3）∵f（x）在（0，+∞）上是增函数，∴f（x）在区间[2，5]上也是增函数；
∴当x=2时，f（x）_min=f（2）=1，当 x=5时，f(x)_max=f(5)=

．

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