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  • 已知函数f（x）=ax+bx（其中a，b为常数）的图象经过（1???2），（2，52）两点．（1）求函数f（x）的解析式；（2）用定义法证明函数在[1，+∞）上是增函数．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=ax+
      b
      x
      （其中a，b为常数）的图象经过（1???2），（2，
      5
      2
      ）两点．
      （1）求函数f（x）的解析式；
      （2）用定义法证明函数在[1，+∞）上是增函数．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵f（x）=ax+
      b
      x
      的图象经过（1，2），（2，
      5
      2
      ）两点；
      ∴有
      {
      a+b=2
      2a+
      b
      2
      =
      5
      2
      ，解得
      {
      a=1
      b=1
      ；
      ∴f（x）的解析式为f（x）=x+
      1
      x
      ，（其中x≠0）；
      （2）任取x      1，x2，且1≤x1＜x2，
      则f（x      1）-f（x2）=（x1+
      1
      x1
      ）-（x2+
      1
      x2
      ）=（x1-x2）+（
      1
      x1
      -
      1
      x2
      ）=
      (x1-x2)(x1x2-1)
      x1x2
      ；
      ∵1≤x      1＜x2，∴x1x2＞1，x1-x2＜0，x1x2-1＞0，x1x2＞0；
      ∴f（x      1）-f（x2）＞0，即f（x1）＜f（x2）；
      ∴f（x）在[1，+∞）上是增函数．
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