定义在（0，+∞）上的函数f （x），对于任意的m，n∈（0，+∞），都有f（m?n）=f（m）+f（n）成立，当x＞1时，f（x）＜0．（Ⅰ）计算f（1）；（Ⅱ）证明f （x）在（0，+∞）上是减函数；（Ⅲ）当f(2)=-12时，解不等式f（x2-3x）＞-1．试题及答案-单选题-云返教育

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定义在（0，+∞）上的函数f （x），对于任意的m，n∈（0，+∞），都有f（m?n）=f（m）+f（n）成立，当x＞1时，f（x）＜0．（Ⅰ）计算f（1）；（Ⅱ）证明f （x）在（0，+∞）上是减函数；（Ⅲ）当f(2)=-

时，解不等式f（x²-3x）＞-1．

试题解答

见解析

解：（Ⅰ）∵定义在（0，+∞）上的函数f （x）对于任意的m，n∈（0，+∞），满足f（m?n）=f（m）+f（n），
∴f（1）=f（1×1）=f（1）+f（1）．∴f（1）=0
证明：（II）设0＜x₁＜x₂，∵f（m?n）=f（m）+f（n）即f（m?n）-f（m）=f（n）
∴f(x₂)-f(x₁)=f(

x₂

x₁

x₁)-f(x₁)=f(

x₂

x₁

)+f(x₁)-f(x₁)=f(

x₂

x₁

)．
因为0＜x₁＜x₂，则

x₂

x₁

＞1，而当x＞1时，f（x）＜0，从而f（x₂）＜f（x₁）
于是f（x）在（0，+∞）上是减函数．
解：（Ⅲ）因为f（4）=f（2）+f（2）=-1，所以f（x²-3x）＞f（4），
因为f（x）在（0，+∞）上是减函数，所以0＜x²-3x＜4，
解得-1＜x＜0或3＜x＜4，
故所求不等式的解集为{x|-1＜x＜0或3＜x＜4}．

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必修1 人教A版单选题高中数学

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