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数学 语文 英语 物理 化学 生物 地理 历史 政治

  • 已知f（x）=lnx，g(x)=x+ax（a∈R）．（1）求f（x）-g（x）的单调区间；（2）若x≥1时，f（x）≤g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（3）当n∈N*，n≥2时，证明：ln23?ln34?…?lnnn+1＜1n．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知f（x）=lnx，g(x)=x+
      a
      x
      （a∈R）．
      （1）求f（x）-g（x）的单调区间；
      （2）若x≥1时，f（x）≤g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
      （3）当n∈N      *，n≥2时，证明：
      ln2
      3
      ?
      ln3
      4
      ?…?
      lnn
      n+1
      ＜
      1
      n
      ．

      试题解答

      见解析
      解：（1）F(x)=f(x)-g(x)=lnx-x-
      a
      x
      (x＞0)
      F′(x)=
      1
      x
      -1+
      a
      x2
      =
      -x2+x+a
      x2
      （1分）
      当△=1+4a≤0，
      即a≤-
      1
      4
      时，F′（x）≤0，
      所以F（x）在（0，+∞）上单调递减（2分）
      当△=1+4a＞0，即a＞-
      1
      4
      时，
      F′(x)=0，x1=
      -
      √1+4a
      +1
      2
      ，x2=
      √1+4a
      +1
      2
      ，
      ①-
      1
      4
      ＜a≤0时，
      x      1＞0，x2＞0，
      单调增区间为（0，+∞）（3分）
      ②a＞0时，
      x      1＞0，x2＞0，
      单调增区间为（x      1，x2），
      单调减区间为（0，x      1），（x2，+∞）（5分）
      综上：①a≤-
      1
      4
      时，F（x）在（0，+∞）上单调递减（只要写出以上三种情况即得5分）
      ②-
      1
      4
      ＜a≤0时，
      x      1≤0，x2＞0，
      单调增区间为（0，x      2），单调减区间为（x2，+∞）
      ③a＞0时，
      x      1＞0，x2＞0，
      单调增区间为（x      1，x2），，单调减区间为（0，x1），（x2，+∞）
      （2）lnx≤x+
      a
      x
      恒成立，
      等价于a≥[xlnx-x      2]max（6分）
      k（x）=xlnx-x      2，k′（x）=1+lnx-2x，
      [k      ′(x)]′=
      1
      x
      -2＜0
      k′（x）在[1，+∞）上单调递减，
      k′（x）≤k′（1）=-1＜0，
      k（x）在[1，+∞）上单调递减，
      所以k（x）的最大值为k（1）=-1，所以a≥-1（18分）
      （3）证法一：由（2）知当a=-1时，x≥1时，lnx≤x-
      1
      x
      恒成立
      所以n∈N      *，n≥2时，有lnn＜n-
      1
      n
      ?
      lnn
      n+1
      ＜
      n-1
      n
      （10分）
      所以
      ln2
      3
      ＜
      1
      2
      ，
      ln3
      4
      ＜
      2
      3
      ，
      lnn
      n+1
      ＜
      n-1
      n
      相乘得
      ln2
      3
      ?
      ln3
      4
      ??
      lnn
      n+1
      ＜
      1
      n
      （12分）
      方法二：数学归纳法
      ①当n=2时，显然成立（9分）
      ②假设n=k（n∈N      *，n≥2）成立，即
      ln2
      3
      ?
      ln3
      4
      ??
      lnk
      k+1
      ＜
      1
      k

      那么当n=k+1时，
      ln2
      3
      ?
      ln3
      4
      ??
      lnk
      k+1
      ?
      ln(k+1)
      k+2
      ＜
      1
      k
      ?
      ln(k+1)
      k+2

      下面只需证
      1
      k
      ?
      ln(k+1)
      k+2
      ＜
      1
      k+1
      ，（k+1）ln（k+1）＜k（k+2）
      设t=k+1≥3，所以设k（t）=tlnt-t      2+1
      由（2）知当a=-1时，x≥1时，lnx≤x-
      1
      x
      恒成立，
      即k（t）=tlnt-t      2++1＜0在t=k+1≥3恒成立，所以
      ln2
      3
      ?
      ln3
      4
      ??
      lnk
      k+1
      ?
      ln(k+1)
      k+2
      ＜
      1
      k+1

      综合（1）（2）命题成立（12分）
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