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  • 设关于x的方程x2+tx-1=0的两根为α，β（α＜β，函数f（x）=2x+tx2+1）．（1）用t表示f（α）+f（β）；（2）证明：f（x）在[α，β]上是增函数；（3）对任意正数x1，x2，求证：-2β＜f（x1α+x2βx1+x2）+f（x1β+x2βx1+x2）＜-2α．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      设关于x的方程x2+tx-1=0的两根为α，β（α＜β，函数f（x）=
      2x+t
      x2+1
      ）．
      （1）用t表示f（α）+f（β）；
      （2）证明：f（x）在[α，β]上是增函数；
      （3）对任意正数x      1，x2，求证：-2β＜f（
      x1α+x2β
      x1+x2
      ）+f（
      x1β+x2β
      x1+x2
      ）＜-2α．

      试题解答

      见解析
      解：（1）根据根与系数的关系，得
      α+β=-t，αβ=-1，
      ∴f(α)+f(β)=
      2α+t
      α2+1
      +
      2β+t
      β2+1
      =
      2α-(α+β)
      α2-αβ
      +
      2β-(α+β)
      β2-αβ
      =
      α+β
      αβ
      =
      -t
      -1
      =t，
      ∴f（α）+f（β）=t；
      （2）∵f ′ (x)=
      2(x2+1)-(2x+t)2x
      (x2+1)2
      =
      -2(x2+tx-1)
      (x2+1)2

      ∵x∈[α，β]，x      2+tx-1=（x-α）（x-β）≤0，
      ∴x∈[α，β]，f′（x）≥0，
      ∴f（x）在[α，β]上是增函数；
      （3）∵
      x1α+x2β
      x1+x2
      -α=
      x2(β-α)
      x1+x2
      ＞0，
      x1α+x2β
      x1+x2
      -β=
      x1(α-β)
      x1+x2
      ＜0，
      ∴α＜
      x1α+x2β
      x1+x2
      ＜β，
      同理，得α＜
      x1β+x2α
      x1+x2
      ＜β，
      ∴f(α)＜f(
      x1β+x2α
      x1+x2
      )＜f(β)，
      f(α)＜f(
      x1α+x2β
      x1+x2
      )＜f(β)，
      以上两式相加，得
      2f(α)＜f(
      x1α+x2β
      x1+x2
      )+f(
      x1β+x2α
      x1+x2
      )＜2f(β），
      由（1）知，f(α)=
      1
      α
      =-β ， f(β)=
      1
      β
      =-α，
      ∴-2β＜f（
      x1α+x2β
      x1+x2
      ）+f（
      x1β+x2β
      x1+x2
      ）＜-2α．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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